Задача к2

Определение скоростей и ускорений точек твёрдого тела при поступательном и вращательном движениях.

По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также касательное, нормальное и полное ускорения точки M механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен S. Схемы механизмов показаны на рис. К2.0-К2.9, а необходимые для расчёта данные помещены в табл. К2.

Таблица К2

№ условия	Радиусы, см				Уравнение движения груза 1 (x – в см, t – в с)	S, м
	R2	r2	R3	r3
1	20	10	30	10	4+90 t2	0,5
2	40	20	35	-	10+40 t2	0,5
3	40	30	30	15	7+40 t2	0,6
4	30	15	40	20	90 t2	0,2
5	50	20	60	-	2+50 t	0,5
6	32	16	32	16	5+60 t2	0,1
7	40	18	40	18	6+30 t2	0,3
8	40	20	40	15	50 t2	0,4
9	25	20	50	25	3+30 t	0,6
10	30	15	20	-	5+60 t2	0,2

Пример выполнения задания

Исходные данные: схема механизма (рис. К2) x=2+70t² см; (t – в сек); R₂=50 см; r₂=30 см; R₃=60 см; r₃=40 см; s=40 см. Определить скорость и ускорение точки М в момент времени t = τ = 0,75 c

Угловые скорости колёс 2 и 3, связанных гибкой передачей, обратно пропорциональны радиусам этих колёс, т.е.

откуда

откуда

Скорость точки М

и направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3.

Касательное ускорение точки М:

и имеет одинаковое со скоростью направление, так как в рассматриваемом примере вращение колёс ускоренное.

V_м

V₁

Нормальное ускорение точки М:

и направлено по радиусу к центру колеса.

Полное ускорение

Таблица К2, а

			Ускорение, см/с2
2,94	3,89	118	156	346	379

Значения этих величин для момента времени t=τ сведены в табл. К.2, а. Скорость и ускорение точки М показаны на рис. К.4, а.

Задача к3

Прямоугольная пластинка (рис. К3.0-К3.5) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К3.6-К3.9) вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω, заданной в табл. К3 (при знаке минус направление ω противоположного показанному на рисунке). Ось вращения на рис.0-3 и 8,9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку O (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 4-7 ось вращения OO₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис.0-5) или по окружности радиуса R, т.е. по ободу пластины (рис. 6-9), движется точка М. Закон её относительного движения, выражаемый уравнением s=AM=f(t) (s – в сантиметрах, t – в секундах), задан в табл.К3, при этом на рис. 6-9 s=AM и отсчитывается по дуге окружности; там же даны размеры b и ℓ. На всех рисунках точка М показана в положении, при котором s=AM>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А.)

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁=1c.

Указания. Задача К3 – на сложное движение точки. При её решении движение точки по пластине считать относительным, а вращательное движение самой пластины – переносным и воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить расчёты, следует изобразить точку М на пластине в том положении, в котором нужно определить её абсолютную скорость (или ускорение), а не в произвольном положении, показанном на рисунках к задаче.

Таблица К3

Номер условия	, 1/c	Рис. 0-5		Рис. 6-9
		b, см	s=AM	ℓ	S=AM=f(t)
0	-2	16	60(t4-3t2)+56	R
1	4	20	60(t3-2t2)	R
2	3	8	80(2t2-t3)-48	R
3	-4	12	40(t2-3t)+32	R
4	-3	10	50(t3-t)-30	R
5	2	12	50(3t-t2)-64	R
6	4	20	40(t-2t3)-40	R
7	-5	10	80(t2-t)+40	R
8	2	8	60(t-t3)+24	R
9	-5	16	40(3t2-t4)-32	R

D

D

Пример К3. Треугольная пластина АDE вращается вокруг оси z по закону  = f₁(t) положительное направление отсчета угла  показано па рисунке дуговой стрелкой. По гипотенузе АD движется точка В по закону s = AB = f₂(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано:  = 0,1t³ – 2,2t, s = AB = 2+15t – 3t²; ( - в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить: в момент времени t₁=2c.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой АD относительным, а вращение пластины – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение прямолинейное и происходит по закону

s = AB = 2+15t – 3t²

Поэтому

В момент времени t₁=2 c имеем

S₁ = AB₁ = 20 cм, v_отн = 3 cм/с, = -6 cм/с².

Знаки показывают, что вектор v_отн направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор - в противоположную сторону. Изображаем векторы на рисунке.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону  = 0,1t³ – 2,2t. Найдем угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения и при t₁=2с,

Знаки указывает, что в момент времени t₁=2с направление  совпадает с направлением положительного отсчета угла , направление ему противоположно; отмети это на рисунке, соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h₁ точки В₁ от оси вращения z: h₁=AB₁sin30 = 10 cм. Тогда в момент времени t₁=2с , получим

Изображаем на рисунке вектор и с учетом направления и вектор направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор - по линии В₁С к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен , то численно в момент времени t₁=2 с

Направление найдем, спроецировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону , т.е. по ходу часовой стрелки, на . Иначе направление можно найти, учтя, что . Изображаем вектор на рисунке.

4. Определение Так как а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рис. ), то в момент времени t₁=2 с

5. Определение . По теореме о сложении ускорений

Для определения проведем координатные оси В₁xyz₁ и вычислим проекции вектора на эти оси. Учтем при этом, что векторы лежат на оси х, а векторы расположены в плоскости В₁yz₁, т.е. в плоскости пластины. Тогда, получим для момента времени t₁=1 с:

Отсюда находим значение в момент времени t₁=2 с:

Ответ: