Задача к4

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис.К3.0 – К3.7) или стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно ℓ₁=0,4 м, ℓ₂=1,2 м, ℓ₃=1,4 м, ℓ₄=0,6 м. Положение механизма определяется углами Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0-4) или в табл. К3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К3а - величины постоянные. Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение - от точки В к b (на рис. 5-9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

При определение ускорений точек механизма исходить из векторного равенства

где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ); В – точка, ускорение которой нужно определить (в случае, когда точка В тоже движется по дуге окружности, также следует представить см. примечание в конце рассмотренного ниже примера К3).

Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)

Номер условия	Углы, град					Дано		Найти
								точек	звена	точки	звена
0	0	60	30	0	120	6	-	B,E	DE	B	AB
1	90	120	150	0	30	-	4	A,E	AB	A	AB
2	30	60	30	0	120	5	-	B,E	AB	B	AB
3	60	150	150	90	30	-	5	A,E	DE	A	AB
4	30	30	60	0	150	4	-	D,E	AB	B	AB
5	90	120	120	90	60	-	6	A,E	AB	A	AB
6	90	150	120	90	30	3	-	B,E	DE	B	AB
7	0	60	60	0	120	-	2	A,E	DE	A	AB
8	60	150	120	90	30	2	-	D,E	AB	B	AB
9	30	120	150	0	60	-	8	A,E	DE	A	AB

Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)

Номер условия	Углы, град					Дано				Найти
										точек	звена	точки	звена
0	120	30	30	90	150	2	4	-	-	B,E	AB	B	AB
1	0	60	90	0	120	-	-	4	6	A,E	DE	A	AB
2	60	150	30	90	30	3	5	-	-	B,E	AB	B	AB
3	0	150	30	0	60	-	-	6	8	A,E	AB	A	AB
4	30	120	120	0	60	4	6	-	-	B,E	DE	B	AB
5	90	120	90	90	60	-	-	8	10	D,E	DE	A	AB
6	0	150	90	0	120	5	8	-	-	B,E	DE	B	AB
7	30	120	30	0	60	-	-	2	5	A,E	AB	A	AB
8	90	120	120	90	150	6	10	-	-	B,E	DE	B	AB
9	60	60	60	90	30	-	-	5	4	D,E	AB	A	AB

Р₃

Р₂

Пример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: , , , , , , , , , , (направления и - против хода часовой стрелки).

Определить:

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем . Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление , можем определить ; численно

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка Р₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС Р₃. Вектор перпендикулярен отрезку DР₃, соединяющему точки D и Р₃, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить C₃D и C₃B, заметим, что треугольник АС₃В – прямоугольный, так как острые углы в нем равны и , и что

Тогда треугольник BР₃D является равносторонним и Р₃В=Р₃D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС Р₂ стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержня DE вокруг центра Р₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что , откуда . Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка Р₂) и

(6)

5. Определяем (рис. К3в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить , где численно

(7)

Вектор направлен вдоль АО₁, а - перпендикулярно АО₁; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К3в).Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и .

Для определения воспользуемся равенством

(8)

Изображаем на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно Найдя с помощью построенного МЦС Р₃ стержня 3, получим

(9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения и ; их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить , спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось x), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим

-

(10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

(11)

Так как получилось , то, следовательно, вектор направлен как показано на рис. К3в.

6. Определяем . Чтобы найти , сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось y). Тогда получим

(12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. К3в.

Теперь из равенства получим

Ответ:

Примечание. Если точка В, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К3.0-К3.4, где В движется по окружности радиуса О₂В), то направление заранее неизвестно.

В этом случае также следует представить двумя составляющими ( ) и исходное уравнение (8) примет вид

(13)

При это вектор (см., например, рис. К3.0) будет направлен вдоль ВО₂, а вектор - перпендикулярно ВО₂ в любую сторону. Числовые значения определяются так же, как в рассмотренном примере (в частности, по условиям задачи может быть или , если точка А движется прямолинейно).

Значение также вычисляется по формуле

где ℓ – радиус окружности О₂В, а определяется так же, как скорость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестные только значения и и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.

Найдя , можем вычислить искомое ускорение

Величина служит для нахождения (как в рассмотренном примере).

61