Временные ряды в эконометрических исследованиях

4.1. Методические указания

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (Е) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение -мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: Y = Т + S + Е,

мультипликативная модель: Y = T· S · Е.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т,S и Е для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты S;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т + Е) или в мультипликативной (Т · Е) модели;

4) аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т · Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (T + S) или (Т · S);

6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Автокорреляция уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

где коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;

где - коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) - коррело-граммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. , Для этого чаще всего применяются следующие функции:

• линейная ŷ _t = a + b-t;

• гипербола ŷ_t = a + b / t ;

• экспонента ŷ_t = e _a+b·t ;

• степенная функция ŷ_t = a · t^b ;

• парабола второго и более высоких порядков

ŷ _t = a + b₁ ·t + b₂ -t² +... + b_k ·t^k .

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1, 2, ..., , а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда y_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации R².

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например ŷ_t и xˆ_t , и расчет отклонений от трендов: y_t - ŷ_t и x_t - xˆ_t Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

△ _t = y_t - y_t-1 = b + (ε_t - ε_t-1)

если параболический тренд - вторыми разностями:

△² _t = △ _t-△ _t-1 = 2·b₂(ε_t-2·ε _t-1+ε _t-2)

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид

y_t = a + b₁·x_t + b₂· _t + ε _t

Параметры а и b этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков е, за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина - Уотсона и расчет величины:

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле

Критерий Дарбина - Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

d ≈2(1 - r₁^ε)

Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид

y_t = a + b₀ · x_t + b₁·x _t-1+ ... + b_p·x_t-p + ε _t

Коэффициент регрессии b₀ при переменной x_t характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х.Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t + 1) воздействие факторной переменной x_t на результат y_t составит (b₀ + b₁) условных единиц; в момент времени (t + 2) воздействие можно охарактеризовать суммой (b₀ + b₁ + b₂ и т.д. Эти суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага (t + /) воздействие фактора на результат описывается суммой (b_o + b₁ + . . . + b_i = b), которая называется долгосрочным мультипликатором.

Величины

β _j=bj / b j=0,1

называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты b_j имеют одинаковые знаки, то для любого j

0<β_j<1 и

1

Σβj

j = 1

= 1

Величина среднего лага модели множественной регрессии определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

l =

1

Σj

j=1

· β_j

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент t.

Медианный лаг - это период, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

lМе -1

Σβj

j=0

= 0,5

где l_Ме - медианный лаг.

Оценку параметров моделей с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или методу Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

b_i = b₀ · λⁱ         l = 0,1,2,….      0<λ<1.

Уравнение регрессии преобразуется к виду

y_t=a+b₀·x_t+b₀·λx _t-1+b₀·λ²·λx _t-2+ …..+ε _t

После несложных преобразований получаем уравнение, оценки параметров которого приводят к оценкам параметров исходного уравнения.

В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:

b_j=c₀+c₁j+c₂j²+…+c_kj^k

Уравнение регрессии примет вид

y_t = a+ c₀· z₀+c₁· z₁+ c₂·z₂+…+c_k·z_k+ε _t

где  z_i =

1

Σji ·t-j

j = 1

= 1         i=1,......,k;     j=1,.....,p

Расчет параметров модели с распределенным лагом методом Алмон проводится по следующей схеме:

1) устанавливается максимальная величина лага t;

2) определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;

3) рассчитываются значения переменных z₀,..., z_k

4) определяются параметры уравнения линейной регрессии y_t от z_i;

5) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, называются моделями авторегрессии, например:

y_t=a+b₀·x_t+c₁·y _t-1+ε _t

Как и в модели с распределенным лагом, b₀ в этой модели характеризует краткосрочное изменение y_t под воздействием изменения x_t на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

b = b₀+b₀·c₁+b₀·c₁²+b₀·c₁³+…=b₀·(1+c₁+c₁²+c₁³+)

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.