2.2. Решение типовых задач

Пример 1

По 30 территориям России имеются данные, представленные в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Линейный коэффициент парной корреляции
Среднедневной душевой доход, руб., у	86,8	11,44	-
Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х1	54,9	5,86	ryx1 = 0,8405
Средний возраст безработного, лет,x2	33,5	0,58	ryx2 = -0,2101 rx1x2 = -0,1160

Требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с β₁ и β₂, пояснить различия между ними.

2. Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

3. Рассчитать общий и частные F-критерии Фишера.

Решение

Линейное уравнение множественной регрессии у от x₁ и х₂ имеет вид: y = a + b₁ · x₁ + b₂ · x₂. Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: t_y = β · t_x1 + β₂ ·t _x2 Расчет β - коэффициентов выполним по формулам

Получим уравнение

t_y = 0,8273 t _x1 - 0,114 t _x2

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂, используя формулы для перехода от β _i к b_i,:

Значение a определим из соотношения

a = y - b₁ · x₁ - b₂ · x₂ = 86,8 - 1,6151 · 54,9 + 2,2505 · 33,5 = -73,52276,

y _x1x2 = -73,52 + 1,62 · x₁ - 2,25 · x₂

Для характеристики относительной силы влияния х₁ и х₂ на у рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

С увеличением средней заработной платы x₁ на 1% от ее среднего уровня средний душевой доход у возрастает на 1,02% от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного х₂ на 1% среднедушевой доходу снижается на 0,87% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния средней заработной платы х₁ на средний душевой доход у оказалась большей, чем сила влияния среднего возраста безработного х₂ К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений β₁ и β₂:

|β₁ | = |0,8273| > |β₂ | = |- 0,1141 |

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении Э _{yx j} и β _j, объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних: . Э _{yx j} = b _j

xj

y

- β коэффициент - из соотношения средних квадратических отклонений: β _i = b _i

σ xi

σy

2. Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (r_x1x2= -0,116) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают:

r_yx1=0,8405;         r_yx2 = -0,2101;     r _x1x2 = 0,1160; r_{yx1 · x2}=0,8404;     r_{yx2 · x1} = -0,2092;     r_{yx1x2 · y} = 0,1144.

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов r_yxj. и β j:

Зависимость у от x₁ и x₂ характеризуется как тесная, в которой 72% вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 28% от общей вариации у.

3. Общий F-критерий проверяет гипотезу Н _о о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R² = 0):

F_табл = 3,4;         α = 0,05

Сравнивая F_табл и F_факт, приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу H₀, так. как F_табл = 3,4 < F _факт = 34,6. С вероятностью 1 - а = 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R_yx1x2 которые сформировались под неслучайным воздействием факторов х₁ и х₂.

Частные F-критерии - F_x1и F _{X 2} оценивают статистическую значимость присутствия факторов x₁ и х₂ в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. F_x1оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х₁ после того, как в него был включен фактор x₂. Соответственно F_{x 2} указывает на целесообразность включения в модель фактора x₂ после фактора х₁:

F_табл = 4,21; α = 0,05.

Сравнивая F_табл и F_факт, приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора x₁ после фактора х₂, так как F _{x1 факт}= 64,9>F_Taбл. Гипотезу H₀ о несущественности прироста R² _Y за счет включения дополнительного фактора х₁ отклоняем и приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообразности включения фактора х₁ после фактора x₂.

Целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора x₁ проверяет F _x2 :

Низкое значение Fx_{2 факт} (немногим больше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста r²_yx1 за счет включения в модель фактора х₂ после факторах. Следовательно, подтверждается нулевая гипотеза H₀ о нецелесообразности включения в модель фактора x₂ (средний возраст безработного). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости среднего дохода от средней заработной платы является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор х₂ (средний возраст безработного).

Пример 2

По 20 территориям России изучаются следующие данные (табл. 2.2): зависимость среднегодового душевого дохода у (тыс. руб.) от доли занятых тяжелым физическим трудом в общей численности занятых x₁ (%) и от доли экономически активного населения в численности всего населения х₂ (%).

Таблица 2.2

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Характеристика тесноты связи	Уравнение связи
y	112,76	31,58	Ryx1x2=0,773	ŷ x1x2 = -130,49 + 6,14·x1 + 4,13 ·x2
x1	5,40	3,34	ryx1 = 0,746	ŷ x1 = 74,4+7,1·x1
x2	50,88	1,74	r yx2=0,507 rx1x2 = 0,432	ŷ x2 = -355,3 + 9,2 · x2

Требуется:

1. Составить таблицу дисперсионного анализа для проверки при уровне значимости α= 0,05 статистической значимости уравнения множественной регрессии и его показателя тесноты связи.

2. С помощью частных F-критериев Фишера оценить, насколько целесообразно включение в уравнение множественной регрессии фактора X₁ после фактора Х₂ и насколько целесообразно включение X₂после X₁

3. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов при переменных X₁и X₂ множественного уравнения регрессии.

Решение

1. Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой гипотезы HQ о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи.

Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного (критического) значений F-критерия Фишера F_табл и F_факт. F_факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

где n- число единиц совокупности; т - число факторов в уравнении линейной регрессии; ŷ -фактическое значение результативного признака; y _х1х2 - расчетное значение результативного признака.

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Вариация результата, у	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений, S	Дисперсия на одну степень свободы, S2	Fфакт	Fтабл α = 0,05 k1 = 2,k2 = 17
Общая	dƒ = n - 1 = 19	19945,9	-	-	-
Факторная	k1 = m = 2	11918,3	5959,15	12,62	3,59
Остаточная	k2 = n - m - 1 = 17	8027,6	472,21	-	-

Сравнивая F_табл и F_факт, приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу H₀ и сделать вывод о статистической значимости уравнения регрессии в целом и значения R² _yx1x2, так как они статистически надежны и сформировались под систематическим действием неслучайных причин. Вероятность того, что допускаются ошибки при отклонении нулевой гипотезы, не превышает 5%, и это является достаточно малой величиной.

2. Частный F-критерий Фишера оценивает статистическую целесообразность включения фактора х₁ в модель после того, как в нее включен фактор x₂. Частный F-критерий Фишера строится как отношение прироста факторной дисперсии за счет дополнительно включенного фактора (на одну степень свободы) к остаточной дисперсии (на одну степень свободы), подсчитанной по модели с включенными факторами х₁их₂

F_частнx₁ =

Sфактyx1x2 - Sфактyx2

Sост yx1x2

  ·

n - m - 1

1

62

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Вариация результата, у	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений S	Дисперсия на одну степень свободы, S2	Fфакт	Fтабл α= 0,05, k1=2 k2=17
Общая	dƒ = n - 1 = 19	19945,9	-	-	-
Факторная В том числе:	k1= т = 2	11918,3	5959,15	12,62	3,59
за счет х2	1	5127,1	5127,1	10,86	4,45
за счет дополнительно включенного х1	1	6791,2	6791,2	14,38	4,45
Остаточная	k2 = n - m -1 = 17	8027,6	472,21	-	-

Включение фактора х₁ после фактора х₂ оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т.е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора x₁ так как F _{частн x1} = 14,38 > F_табл = 4,45.

Аналогично проверим целесообразность включения в модель дополнительного фактора х₂ после включенного ранее фактора х₁. Расчет выполним с использованием показателей тесноты связи

R² _yx1x2 и r² _yx1.

В силу того что F _{частн x2} = 1,73 < F_табл = 4,45 , приходим к выводу, что включение х₂ после х₁ оказалось бесполезным: прирост факторной дисперсии в расчете на одну степень свободы был несуществен, статистически незначим, т.е. влияние х₂ не является устойчивым, систематическим. Вполне возможно было ограничиться построением линейного уравнения парной регрессии у отх₁.

3. Оценка с помощью t-критерия Стьюдента значимости коэффициентов b₁ и b₂ связана с сопоставлением их значений с величиной их случайных ошибок: m_b1 и т_b2 . Расчет значений случайных ошибок достаточно сложен и трудоёмок. Поэтому предлагается более простой способ: расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии линейного уравнения как квадратного корня из соответствующего частного F-критерия Фишера:

Табличные (критические) значения f-критерия Стьюдента зависят от принятого уровня значимости а (обычно это 0,1; 0,05 или 0,01) и от числа степеней свободы (п - т - 1), где п - число единиц совокупности, т - число факторов в уравнении.

В нашем примере при α = 0,05; df= 20 - 3 = 17; t_табл = 2,10. Сравнивая t _табл и t_факт, приходим к выводу, что так как t _b1 = 3,79 > 2,11 = t_табл коэффициент регрессии b₁ является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе. Так как t _b2 = 1,32 < 2,10 = t_таблприходим к заключению, что величина b₂ является статистически незначимой, ненадежной в силу того, что она формируется преимущественно под воздействием случайных факторов. Еще раз подтверждается статистическая значимость влияния х₁ (доли занятых тяжелым физическим трудом) на у (среднедушевой доход) и ненадежность, незначимость влияния х₂ (доли экономически активного населения в численности всего населения).

Пример 3

Зависимость спроса на свинину х₁ от цены на нее х2 и от цены на говядину хз представлена уравнением

lgx_l =0,1274 -0,2143 -Igx₂ +2,8254 -Igx₃

Требуется:

1. Представить данное уравнение в естественной форме (не в логарифмах).

2. Оценить значимость параметров данного уравнения, если известно, что t-критерий для параметра b₂ при х₂ составил 0,827, а для параметра b₃ при х₃ - 1,015.

Решение

1. Представленное степенное уравнение множественной регрессии приводим к естественной форме путём потенцирования обеих частей уравнения:

x₁ = 10^0,1274 · x₂^-0,2143 · x₃^2,8254; x₁ = 1,3409 ·

1

x20,2143

· x₃^2,8254;

Значения коэффициентов регрессии b₁ и b₂ в степенной функции равны коэффициентам эластичности результатах! От x₂ и х₃.

Э _x1x2 = -0,2143 %      ; Э _x1x3 = 2,8254 %

Спрос на свинину х₁ сильнее связан с ценой на говядину - он увеличивается в среднем на 2,83% при росте цен на 1%. С ценой на свинину спрос на нее связан обратной зависимостью: с ростом цен на 1% потребление снижается в среднем на 0,21%.

2. Табличное значение r-критерия для α = 0,05 обычно лежит в интервале 2 - 3 - в зависимости от степеней свободы. В данном примере tb₂ = 0,827, tb₃ = 1,015. Это весьма небольшие значения t-критерия,

которые свидетельствуют о случайной природе взаимосвязи, о статистической ненадежности всего уравнения, поэтому применять полученное уравнение для прогноза не рекомендуется.

Пример 4

По 20 предприятиям региона (табл. 2.5) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x₂ (%).

Таблица 2.5

Номер предприятия	y	x1	x2	Номер предприятия	y	x1	Х2
1	7,0	3,9	10,0	11	9,0	6,0	21,0
2	7,0	3,9	14,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	16,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	3,8	17,0	15	12,0	8,0	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	5,3	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	20,0	20	14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Оценить показатели вариации каждого признака и сделать вывод о возможностях применения МНК для их изучения.

2. Проанализировать линейные коэффициенты парной и частной корреляции.

3. Написать уравнение множественной регрессии, оценить значимость его параметров, пояснить их экономический смысл.

4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и R² _yx1x2 Сравнить значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации.

5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора х₁после x₂ и фактора x₂ после x₁

6. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности и дать на их основе сравнительную оценку силы влияния факторов на результат.