§ 3. Функції комплексної змінної. Елементарні функції.

Якщо кожній точні z з деякої множини Е комплексної площини поставлено у відповідність комплексне число w, то говорять, що на множині Е задана функція w = f(z). Якщо позначити z = x + iy, a w = u + iv, то можна зробити висновок, що задання комплексної функції w = f(z) рівносильне заданню двох дійсних функцій двох змінних и (х, у) та v(x, y): f(z) = u(x ,y) + iv(x, y).

Функція f(z) в точці z₀ = x₀ + iy₀ має границю С = А + іВ тоді і тільки тоді, коли функції и(х, у) та v(x, y) в точці (х₀, у₀) мають границі відповідно А та В.

Завдання 9. Чи існує границя функції f(z) в точці z = 0

1)

Розв’язання. Для того, щоб знайти домножимо чисельник та знаменник на :

Так як |z|² = х² + у² та , то

Функція f(z) = U(x, y) + iV(x, y) буде неперервною в точці z₀ = = x₀ + iy₀ тоді і тільки тоді, коли будуть неперервними функції двох дійсних змінних U(х, у) та V(x,y) в точці (x₀, y₀).

Завдання 10. Дослідити функцію f(z) на неперервність:

1)

Розв’язання. Дана функція може мати розрив лише в точці z = 0. Якщо , то функція в точці z = 0 буде неперервною. Знайдемо . Перейдемо до полярної системи координат х = ρ cosφ, у = ρ sinφ, при х → 0 та у → 0 радіус ρ також прямує до нуля.

Границя даної функції в точці z = 0 не існує, так як кут φ може набувати довільного значення із пів сегмента [0; 2π), відповідно sin2φ набуває будь-якого значення із сегмента [–1; 1].

Отже, функція f(z) має розрив в точці z = 0.

Значення лінійної, дробово-лінійної, степеневої функцій виду zⁿ, (n є Z) обчислюються за відомими правилами дій над комплексними числами. Для показникової функції має місце формула Ейлера е^iг = cosz + isinz. З неї одержуються формули для тригонометричних функцій

(1)

Для гіперболічних функцій мають місце формули аналогічні відомим формулам функцій дійсної змінної

Із показникової форми комплексного числа маємо

За допомогою цих формул показникову функцію a^z та степеневу з довільним показником z^a можна подати так

Обернені до тригонометричних та гіперболічних функцій обчислюються за формулами

Завдання 11. Виділити дійсну та уявну частини числа:

l) .

Розв’язання. Щоб виділити дійсну та уявну частини, скористаємося формулою .

Підставимо замість z значення .

Завдання 12. Розв’язати рівняння

1) sin z = –2i.

Розв’язання. Скористаємося оберненою тригонометричною функцією арксинус: z = Arcsin(–2i). За формулами (4) маємо:

Обчислимо окремо значення та , скориставшись формулою (3)

.

Так як

.

Оскільки , то

Значення та об’єднаємо в одне

Отже

.

Завдання 13. Знайти модуль і головне значення аргумента числа:

1) .

Розв’язання. Подамо число в показниковій формі.

Так як , то

Отже модуль числа дорівнює 2е² ,головне значення аргумента цього числа дорівнює .

Завдання 14. З’ясувати, яку криву визначає комплекснозначна функція від дійсної змінної z(t) і побудувати цю криву.

1) .

Розв’язання. Виділимо в правій і лівій частинах рівності дійсну та уявну частини, тоді

О тже х = cos³ t, y = sin³ t, це рівняння астроїди (мал. 2).

Мал. 2

Завдання 15. Довести формули

1) ch²z + sh²z = sh2z.

Розв’язання. Подамо гіперболічні функції shz, chz, sh2z через показникову функцію e^z, скориставшись формулами (2); тоді

Завдання 16. Довести співвідношення між тригонометричними і гіперболічними функціями

1) cos z - ch iz .

Розв’язання. Скористаємося формулами (1) та (2);

Так як праві частини останніх двох рівностей тотожно рівні, то рівні і ліві, тобто cos z = ch iz.

Завдання 17. Нехай z = x + iy. Довести, що

1) .

Розв’язання. Так як z = х + іу, то

У нас Re ch z = cos y ch x, Im ch z = sin y sh x. Отже,

Так як ch² x – sh²x = l, то

Вказівка: використати формули Ейлера.

Завдання 18. Довести, що функції sinz та cosr необмежені на всій комплексній площині.

§ 4. Похідна.

Для того, щоб функція f(x + іу) = и(х, у) + iv(x, у) була диференційованою в точці z = х + іу, необхідно і достатньо, щоб функції и(х,у) та v(x,y) були диференційовані по х та у і щоб виконувалися рівності

Ці рівності називаються умовами Коші-Рімана. Похідна при цьому може бути обчислена за формулою

Однозначна функція f(z) називається диференційованою в області, якщо вона диференційована в кожній точці цієї області.

Завдання 19. Знайти область диференційовності функції

1) .

Розв’язання. Виділимо дійсну та уявну частини функції

Знайдемо частинні похідні функцій и(х, у) та v(x, y)

Визначимо для яких значень змінних х та у виконуються умови Коші - Рімана (1)

Так як перше рівняння системи розв’язків не має, то не має розв’язків і сама система, а отже задана функція недиференційовна у всій комплексній площині.

Функція u(x, y) називається гармонічною, якщо вона має частинні похідні до другого порядку включно і задовольняє рівнянню Лапласа

Завдання 20. Визначити, чи функція є гармонічною

1) u(х, у) = e^x cos y + x² – у².

Розв’язання. Знайдемо другі частинні похідні та і перевіримо, чи задовольняють вони рівнянню Лапласа (2).

Другі частинні похідні задовольняють рівнянню Лапласа, отже функція u(х, у) = e^x cos y + x² – у² є гармонічною функцією.

Гармонічні функції, які задовольняють умовам Коші-Рімана, називаються спряженими гармонічними. Дійсна і уявна частина аналітичної функції є спряженими гармонічними функціями. За заданою дійсною (уявною) частиною аналітичної функції можна відновити уявну (дійсну частину) з точністю до довільної сталої

Завдання 21. Побудувати аналітичну функцію f(z) = u(x, y) + + iv(x, y) за її дійсною або уявною частиною.

1) .

Розв’язання. Перевіримо спочатку чи задана функція є гармонічною,

Задана функція є гармонічною, отже можемо побудувати спряжену до неї. Скориставшись формулою (4), будемо мати

Виберемо за точку (х₀, у₀) точку (1,0), тоді

Отже , а функція f(z) дорівнює

Нехай функція w = f(z) визначена, неперервна в обл. D і w'(z₀) ≠ 0, де z₀ є D. Модуль похідної |w(z₀)| визначає коефіцієнт розтягу в околі точки z₀ всіх кривих, що проходять через цю точку при відображенні за допомогою функції w = f(z). Аргумент похідної arg(w'(z₀)) визначає кут, на який повертаються всі криві в точці z₀ при відображенні w = f(z).

Завдання 22. Знайти коефіцієнт розтягу і кут повороту при відображенні за допомогою функції w = f(z) в точці z₀.

l) , z₀ = 0.

Розв’язання.

Виходячи із геометричного змісту похідної коефіцієнт розтягу k = |w'(z₀)|, а кут повороту α = arg w'(z₀).

Знайдемо похідну функції і обчислимо її в точці z₀ = 0.

Так як |–2i| = 2 , a arg(–2i) = , то коефіцієнт розтягу в точці z₀ = 0 при відображенні функцією w(z) = дорівнює k = 2, а кут повороту а = .

Завдання 23. Яка частина площини стикається при відображенні за допомогою функції w = f(z).

1) w = z³ +2.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції w = z³ + 2 та її модуль:

При відображенні за допомогою функції w = f(z) стикається та частина площини, для точок якої виконується умова 0 < к < 1, або 0 < |w'| < 1.

Отже 0 < 3(x² + у²) <1, звідки маємо 0 < х² + у² <

При відображенні за допомогою функції w = z³ + 2 стикається внутрішня частина кола з виколотою точкою z = 0.