§ 12. Інтегрування функції комплексної змінної.
Нехай
f(z)
= U(x,
y)
+ iV(x,
y)
– неперервна функція в області D
комплексної площини і γ – довільна
кусково-гладка крива, що лежить в цій
області, тоді існує
,
обчислення якого зводиться до обчислення
двох криволінійних інтегралів: другого
роду:
Якщо рівняння кривої у записати у вигляді z(t) = φ(t) +iψ(t) (α ≤ t ≤ β то
,
де
.
У випадку,
коли γ –
дуга
кола |z
–
а|
=
ρ,
орієнтованого додатньо, тоді z
=
а +
ρеit,
dz
= iρeitdt
(α
≤ t
≤ β)
і інтеграл
обчислюється
за формулою
.
Із властивостей криволінійних інтегралів другого роду випливають наступні властивості інтегралів від функцій комплексної змінної.
1.
.
2.
,
де
γ-1
протилежно орієнтована
дуга
до γ.
3.
,
де
дуги γ1
та γ2
складають
дугу γ1γ2.
Завдання
63.
Обчислити
.
Якщо:
1)
де
контур у
складається
з ліній
,
що
обходяться в напрямку, вказаному на
мал.56.
Розв’язання. За властивостями інтегралів від функції комплексної змінної маємо :
О
бчислимо
окремо кожний з інтегралів. На відрізку
АВ
маємо z
= x
; dz
= dx,
z
=
х,
|z|
= x,
1
< x
<
2,
тому
.
На
відрізку CD
: z
= x,
dz
= dx
= x
|z|
=
–x;
–2
< x
<
–1,
отже
На дузі BC : z = 2eiφ, = 2e-iφ, |z| = 2, dz = 2ieiφ,0 ≤ φ < π.
Тоді
маємо
.
На дузі
DA
; z
=
eiφ,
=
e-iφ,|z|
=
1,
dz
=
ieiφdφ
,
φ
змінюється
від π до
0. Отже
.
Таким
чином
.
2) f(z) = , γ: відрізок прямої, що сполучає початок координат з точкою z = 3 + 2i.
3) f(z) = , γ: півколо |z|=l, 0 < arg z < π від точки z = l до точки z = –1.
4) f(z) = ; γ: коло |z| = 3 в додатному напрямку.
5)
f(z)
=
;
γ: відрізок прямої, що сполучає початок
координат з точкою
z
= 1+ i.
6) f(z) = ; γ: дуга параболи у = х2 від точки z = 0 до точки z = l + i.
7)
f(z)
=
;
γ: дуга кривої
від
точки z
= 0 до
точки
z
= l
+ i.
8) f(z) = z3; γ: відрізок прямої, що сполучає початок координат з точкою z = 2 + 4i.
9) f(z) = z3; γ: дуга параболи у = х2 від точки z = 0 до точки z = 2 + 4i.
10) f(z)
=
z3;
γ:
дуга кривої
від
точки z
= 0 до
точки z
= 2 + 4i.
1l) f(z) = Re z; γ: півколо |z| = 2, Im z < 0 початок кривої в точці z = –2.
12) f(z) = ; γ: коло |z| = l.
13) f(z)
=
;
γ: півколо |z|
= 2,
.
14) f(z) = z; γ: крива y = sin x, 0 < х < π початок кривої в точці z = π.
15) f(z) = z; γ: квадрат з вершинами z1 = 0, z2 = 1, z3 = l + i, z4 = i.
16) f(z) = Re z + Im z2; γ: квадрат з вершинами z1 = –1, z2 = –i, z3 = l, z4 = i.
17) f(z)
=
; γ:
контур, що складається з півкола
і
відрізка
.
18) f(z) = i arg z – 1; γ: дуга параболи у = х2, 0 ≤ x ≤ 1.
19) f(z) = i arg z – 1; γ: відрізок прямої у = х, 0 ≤ х ≤ 3.
20) f(z) = (z – a)n n є Z; γ: півколо |z – a| = R, 0 ≤ arg (z – а) ≤ ≤ π, початок кривої в точці z = a + R.
21) f(z) = (z – a)n n є Z; γ: коло |z – a| = R.
22) f(z) = (z – a)n n є Z; γ: квадрат з вершинами в точках z1 = a + R + i(a + R), z1 = a – R + i(a + R), z1 = a – R + i(a – R), z1 = a + R + + i(a – R).
23)
;
γ: коло
|z
– 2i|
= l.