§ 10. Функція Жуковського.

Функція виду називається функцією Жуковського. Вона аналітична для всіх z ≠ 0 . При заміні , функція Жуковського не змінюється, тому в точках z = 0 та z = ∞ вона поводить себе однаково. Функція однолиста в області D тоді і тільки тоді, коли в цій області немає різних точок z₁ та z₂, пов’язаних рівністю z₁ · z₂ = 1. Геометрично остання рівність означає, що точка одержується із точки z₁ подвійною симетрією: відносно кола |z| = 1 і відносно прямої lm z = 0. Областями однолистості є, наприклад,

а) |z| > 1 - зовнішність одиничного кола;

б) |z| < 1 - одиничний круг;

в) Im z > 0 - верхня півплощина;

г) Im z < 0 - нижня півплощина.

Відображення функцією Жуковського кіл і променів виконується за формулами

які одержуються, якщо позначити w = u + iv та z = rе^iφ.

Ф ункція – обернена до функції Жуковського.

Завдання 57. Виконати відображення функцією Жуковського наступних областей та ліній:

1)

Розв’язання. Задана область є другою чвертю комплексної площини (мал.42). Виконаємо відображення меж області, скориставшись формулами (1). Знайдемо образ променя уявної осі (0; +∞). В формулі (1) необхідно покласти , при цьому r змінюється від нуля до нескінченності. Отже маємо, що и = 0, a ( )

Т очка z = 0 (r = 0 ) відобразиться у точку w = –і∞, точка z = i (r = 1) відображається у точку w = 0, а точка z = +i∞ (r = ∞) відобразиться у точку w = +i∞. Таким чином промінь (0;+i∞) відображається у всю уявну вісь.

Знайдемо тепер образ променя (0; –∞) дійсної осі. В формулах (1) покладаємо φ = π, а 0 < r < ∞,тоді , . При цьому точка z = –∞, (r = ∞) відобразиться у точку w = –∞, точка z = –l (r = l) у точку w = –l, точка z = 0 (r = 0) у точку w = –∞ . Отже промінь (0; –∞) дійсної осі відобразиться у промінь дійсної осі (–1; –∞), який обходиться двічі.

Таким чином, задана область відображається у ліву півплощину з розрізом по променю (–1; ∞) (мал.43).

Завдання 58. Відобразити за допомогою функції w такі області:

Завдання 59. Знайти відображення області з розрізом по відрізку (–2; –1) дійсної осі у зовнішність одиничного круга |w| > 1.

§ 11. Відображення тригономегричними та гіперболічним функціями.

Враховуючи формули (1) та (2) §3, відображення тригонометричними та гіперболічними функціями можна подати як суперпозицію функцій, розглянутих в §5-§ 10 наступним чином:

Завдання 60. Знайти образ області при відображення функцією w = f(z)

Розв’язання. Щоб відобразити задану область (мал.44) за допомогою гіперболічного синуса, треба виконати послідовно наступні відображення:

a) ; б) ;

в) г) .

В ідображення а) переводить задану область D у область (мал.45). Відображення 2) – це поворот на кут за годинниковою стрілкою (мал.46). Функція Жуковського (відображення в)) відображає промені (–∞; –1) та (1; +∞) дійсної осі самі в себе, а півколо, що проходить через точки –1; –і та 1 в відрізок [–1; і] дійсної осі. Отже, область, зображена на мал.46 відобразиться у нижню півплощину (мал.47). Відображення г) – це поворот на кут проти годинникової стрілки (мал.48).

Завдання 61. Знайти функцію, яка комформно відображає D: внутрішність одиничного кола |z| = 1 з розрізами по відрізках [–1; 0] та [ ; 1] (мал.49) на G: верхню півплощину (мал.50).

Р озв’язання. Дробово-лінійною функцією область D відображаємо на область, що зображена на мал. 51.

Виконаємо поворот цієї області на кут за годинниковою стрілкою (мал.52).

Застосуємо до області, що зображена на мал. 52. Степеневу функцію (мал.53).

Функція відображає площину з розрізами (–∞; –1);( ; +∞) у площину з розрізом від до нескінченності по дійсній осі (мал54).

Застосувавши до області, що зображена на (мал.54) лінійну функцію (мал. 55) та степеневу одержимо верхню півплощину (мал.50).

Отже функція:

Завдання 62. Знайти функції, які виконують відображення області D на область G.

5) D: lm z > 0 з розрізом по уявній осі від точки і до ∞, G : |w| > 1;

7) D: 0 < lm z < 2π з розрізом ; G: 0 < Im z < π;

8) D: |z| < 1 з розрізами по відрізках та G: Im w > 0;

9) D: lm z > 0 з розрізом ; G: 0 < lm w < π;

16) D: площина з розрізом по відрізку [–1; 1 ] G: смуга 0 < lm w < l;

17) D: смуга –π < Re z < π з розрізом по променю [0; +i∞), G: Im w > 0;

18) D: |z| > 1 з розрізами по [–2; –1] та [1; 2], G: |w| < 1.

19) D: Im z > 0 з розрізом по променю [2і; +і∞), G: lm w > 0.