Литература Основная
Ильин М. М. Теория колебаний / М. М. Ильин, К. С. Колесников, Ю. С. Саратов. – М. : Изд-во МВТУ им. Н. Э. Баумана, 2003.
Карлов Н. В. Колебания, волны, структуры / Н. В. Карлов, Н. А. Кириченко . – М. : Физматгиз, 2003.
Трубецков Д. И. Линейные колебания и волны / Д. И. Трубецков, А. Г. Рожнов. – М. : Физматгиз, 2001.
Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний / В. Д. Горяченко. – Красноярск : Изд-во Краснояр. ун-та, 1995.
Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Пановко. – М. : Наука, 1991.
Мигулин В. В. Основы теории колебаний / В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин. – М. : Наука, 1988.
Дополнительная
Анищенко В. С. Стохастические колебания в радиофизических системах : в 2 ч. / В. С. Анищенко. – Саратов : Изд-во СГУ, 1985–1986.
Пиппард А. Физика колебаний / А. Пиппард. – М. : Высш. шк., 1985.
Капранов М. В. Теория колебаний в радиотехнике / М. В. Капранов, В. Н. Кулещев, Г. М. Уткин. – М. : Наука, 1984.
Филиппов А. Т. Многоликий солитон. – М. : Наука, 1990.
Бутенин Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. В. Неймарк. – М. : Наука, 1987.
Неймарк Ю. И. Стохастические и хаотические колебания / Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда. – М. : Наука, 1986.
Пример решения типовой задачи
Задача.
Получить
уравнение фазовых траекторий и построить
фазовый портрет собственных колебаний
нелинейной консервативной системы:
колебательного контура с сегнетоэлектрическим
конденсатором (варикондом), емкость
которого может быть аппроксимирована
зависимостью
,
где q
– заряд конденсатора, С0,
γ
– константы для конкретного
сегнетоэлектрика, сделать вывод о
характере колебаний.
Решение: Уравнение баланса напряжений данного контура:
,
где J – ток в контуре.
Колебательное уравнение для заряда:
.
Уравнение фазовых траекторий
.
После интегрирования этого уравнения получаем:
.
Преобразуем уравнение кривых
.
Фазовый портрет изобразить на фазовой плоскости
;
.
Фазовые траектории – замкнутые линии. Это говорит о том, что движение – периодическое.
Фазовые траектории при малых γ имеют форму эллипса; следовательно, q(t) изменяется по гармоническому закону.
При других γ фазовая траектория замкнута, но имеет форму овала. Колебания q(t) – не синусоидальной формы.
Особая
точка характеризует устойчивое состояние
равновесия, а значения полуосей эллипса
и овала – значению амплитуд
и
.
Вопросы для тестирования
1. Амплитуда собственных (свободных) колебаний определяется:
а) параметрами системы,
б) начальным запасом энергии системы,
в) параметрами внешней силы.
2. Неизохронные колебания это:
а) колебания, амплитуда которых изменяется во времени,
б) колебания, частота которых изменяется в зависимости от амплитуды (начальных условий),
в) колебания, период которых постоянен.
3. На возникновение собственных апериодических колебаний в ЛДС влияет:
а) задание начальных условий,
б) определенное соотношение параметров системы,
в) изменение амплитуды внешней силы.
4. Разный характер (вид) апериодического (асимптотического) свободного колебания зависит от:
а) соотношения параметров,
б) задания начальных условий,
в) характера внешнего воздействия.
5. Фазовый портрет свободных колебаний в ЛКС с «отталкивающей» силой это:
а) эллипс,
б) развертывающаяся спираль,
в) равносторонние гиперболы.
6. Фазовый портрет собственных колебаний консервативного математического маятника с произвольным углом отклонения содержит особые точки типа:
а) устойчивый узел,
б) неустойчивый фокус,
в) седло,
г) центр.
7. В ЛДС под действием гармонической силы резонанс наступает:
а) при совпадении собственной частоты ω0 и частоты изменения параметра р (ω0 = р),
б)
при соотношении между ω0
и
р:
,
в) при соотношении ω0 ≈ р.
8. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний в ЛДС определяется:
а) начальными условиями,
б) характеристиками внешней силы,
в) параметрами системы.
9. Нелинейная диссипация собственных колебаний приводит к:
а) зависимости частоты колебаний от амплитуды,
б) постоянству логарифмического декремента затухания,
в) зависимости логарифмического декремента затухания от начальных условий.
10. При резонансе в ЛКС амплитуда колебаний:
а) нарастает неограниченно по линейному закону,
б) имеет максимум,
в) не изменяется.
11. В автоколебательной системе, описываемой уравнением х’’ + ω02x = F0cos pt
а) в общем случае результирующее колебание является:
б) гармоническим
в) периодическим, но несинусоидальным
г) апериодическим
12. Для возникновения параметрического резонанса необходимо, чтобы:
а) частота изменения параметра р совпадала с частотой возникающих колебаний ω,
б) выполнялось соотношение p = 2ω/n (n=1,2...),
в) выполнялось соотношение p ≈ nω.
13. Автоколебания могут быть:
а) гармоническими,
б) апериодическими,
в) затухающими,
г) несинусоидальными.
14. Амплитуда автоколебаний определяется:
а) начальными условиями,
б) параметрами системы,
в) видом возвращающей силы.
15. Аттрактор это:
а) устойчивый предельный цикл,
б) неустойчивый предельный цикл,
в) полуустойчивый предельный цикл.
16. Функция диссипации автоколебательной системы:
а) положительная,
б) знакопеременная,
в) отрицательная.
17. Бифуркация – это качественное изменение поведения динамической системы:
а) при определенных значениях параметров,
б) при определенных начальных условиях,
в) случайным образом.