2.2.4. Статистическая радиофизика Программа курса

1. Введение.

Предмет изучения статистической радиофизики. Физика возникновения флуктуаций. Единство случайных и детерминированных процессов. Примеры случайных явлений в различных областях радиофизики. Историческая справка.

2. Модели случайных процессов.

   1. Определение и вероятностное описание случайного процесса.

Понятие статистического ансамбля. Вероятностное описание случайного процесса с помощью многомерных плотностей вероятностей. Основные свойства многомерных плотностей вероятностей. Условные плотности вероятностей, их свойства и связь с многомерными безусловными плотностями вероятностей. Корреляционная функция случайного процесса. Коэффициент корреляции.

2. Стационарные и эргодические случайные процессы.

Понятие стационарности в узком и широком смысле. Усреднение по статистическому ансамблю и по времени. Эргодичность случайных процессов. Необходимые и достаточные условия эргодичности по отношению к среднему значению, корреляционной функции, одномерной плотности вероятности. Экспериментальное измерение основных статистических характеристик эргодических случайных процессов.

3. Гауссовские случайные процессы.

Многомерная характеристическая функция и плотность вероятностей гауссовского процесса. Информация, необходимая для полного описания гауссовского случайного процесса. Ковариационная матрица отсчетов случайного процесса. Основные свойства гауссовских случайных процессов. Обоснование использования гауссовской модели случайных процессов и центральная предельная теорема.

4. Марковские процессы и их описание.

Уравнение Смолуховского для условной плотности вероятности марковского процесса. Уравнение Фоккера – Планка. Пуассоновский процесс. Пуассоновский импульсный случайный процесс.

5. Узкополосные случайные процессы.

Спектр мощности. Связь между спектром мощности и корреляционной функцией. Теорема Винера – Хинчина. Примеры спектров мощности и соответствующих корреляционных функций. Стационарный узкополосный шум. Функции корреляции и спектры АМ, ФМ и ЧМ модулированных случайных процессов. Огибающая, фаза, квадратурные компоненты. Узкополосный гауссовый шум. Распределение Релея. Детерминированный сигнал и гауссовый шум. Распределение Райса.

3. Воздействие шума на радиотехнические цепи.

   1. Отклик линейной системы на шумовое воздействие.

Спектральное и временное описания линейных систем. Коэффициент передачи и функция Грина. Преобразования спектров и корреляционных функций линейными системами. Нормализация и денормализация шумов.

2. Отклик нелинейной системы на шумовое воздействие.

Преобразования вероятностей, спектров и корреляционных функций в нелинейных системах. Амплитудное квадратичное и линейное детектирование шумов.

4. Шумы и флуктуации в радиотехнических системах.

   1. Тепловые флуктуации в радиотехнических системах.

Тепловые флуктуации в проводниках. Флуктуационно-диссипативная теорема. Формула Найквиста. Дробовой шум. Формула Шотки.

2. Флуктуации в автоколебательных системах.

Техническая и естественная ширины спектральной линии автогенератора. Укороченные уравнения генератора. Флуктуации амплитуды и фазы в генераторе. Естественный спектр колебаний автогенератора.

5. Случайные поля и их модели.

Однородные и изотропные поля. Пространственные корреляционные функции. Случайные волны. Угловой спектр. Понятие когерентности. Локально однородные поля, структурная функция.

Литература

Основная

1. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Ч. I и II / С. М. Рытов, Ю.А. Кравцов, В. И. Татарский. – М. : Наука, 1978.

2. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника / В. И. Тихонов. – М. : Радио и связь, 1982.

3. Ахманов С. А. Введение в статистическую радиофизику и оптику / С. А. Ахманов, Ю. Е. Дьяков, А. С. Чиркин. – М. : Наука, 1981.

Дополнительная

1. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Левин – М. : Сов. радио, 1975.

2. Тихонов В. И. Статистическая теория радиотехнических устройств / В. И. Тихонов, Ю.Н. Бакаев. – М. : ВВИА, 1978.

Пример решения типовой задачи

Задача:

Найти корреляционную функцию на выходе цепи, описываемой выражением

,

когда на входе стационарный процесс x(t).

Решение:

Учитывая линейность преобразования y(x), нетрудно найти математическое ожидание y(t)

Для стационарного процесса m_x(t) = const = m_x. Поэтому в нашем случае

Для определения корреляционной функции найдем центрированную случайную функцию

.

Теперь по определению корреляционной функции K_y(t₁, t₂):

.

Подставляя сюда , получаем

Для стационарного процесса K_x(t₁, t₂) = K_x(t₂ – t₁) = K_x(τ). Поэтому в нашем случае

.

То есть стационарный в широком смысле процесс остается стационарным.