2.2.2. Вероятность отказа

Вероятность отказа объекта – вероятность того, что объект откажет хотя бы один раз в течение заданной наработки, будучи работоспособным в начальный момент времени. Вероятность отказа в течение заданной наработки (0, t).

Q(t) = 1 – P(t) = P{T < t },

где: Q(t) – вероятность того, что наработка до отказа Т меньше заданной наработки t. Фактически Q(t) представляет собой функцию распределения СВ Т.

На рис. 2.2 представлены функции распределения случайной величины T Q(t) и плотности распределения наработки на отказ f(t). Таким образом, Q(t) –функция распределения времени наработки на отказ.

Из теории вероятности:

, (2.1)

где: f_t (x) – функция плотности распределения времени до отказа; х –переменная интегрирования.

F(t)=P(T<t).

Тогда

.

Рис. 2.2. Функции распределения случайной величины и плотности распределения наработки до отказа

Статистическое определение определяется по статистическому эксперименту (рис. 2.3).

_,

где N(t) – количество объектов безотказно работающих до момента времени t;

N₀ – исходное количество объектов.

Рис. 2.3. Статистическое определение

Точки разрыва соответствуют отдельным отказам. Вид от эксперимента к эксперименту изменяется случайным образом.

Среднеквадратическая погрешность оценки определяется на основе теоремы Муавра-Лапласа:

, (2.2)

где – значение для рассматриваемого момента времени t.

Из формулы (2.2) следует, что для обеспечения малой погрешности оценки требуется эксперимент над большим числом объектов.

Чтобы уменьшить ошибку в 10 раз, т.е. получить в ответе верный десятичный знак, нужно увеличить – число объектов в 100 раз.

Статистическое определение :

,

где n(t)- количество объектов, отказавших к моменту времени t.

Можно по другому:

.

Чтобы отличать в дальнейшем от функции надежности вероятность безотказной работы в течение фиксированной наработки (заданной) в последнем случае буква t имеет индекс, т.е. t_i, а значит P(t) – функция надёжности, а P(t_i ) – вероятность безотказной работы в течение заданной наработки в технике (0, t_i).

2.2.3. Плотность распределения наработки до отказа

Плотность распределения наработки до отказа – есть производная от функции ненадёжности.

Из формулы (2.1) следует:

, (2.3)

Произведение f(t)dt представляет собой безусловную вероятность того, что объект откажет на интервале времени (t, t+dt).

Напомним, что любая функция f(x) является функцией плотности, если обладает следующими свойствами:

Рассмотрим статистическое определение . Рис. 2.4 иллюстрирует ось времени.

Рис. 2.4. Ось времени

Обозначим:

N(t)– число объектов, не отказавших к моменту времени t;

– число объектов, не отказавших к моменту времени .

-достаточно малый промежуток времени.

Тогда из (2.3) следует:

,

где:

– число отказавших объектов на интервале ;

N0– первоначальное число объектов, поставленных на испытания.

Таким образом, значение функции равно числу отказавших объектов, отнесенное к общему числу объектов N0, поставленных на испытания за период .

Фактически f(t) представляет собой безусловную плотность вероятности возникновения отказа.