Синтез нерекурсивных цифровых фильтров

Будем предполагать, что известна передаточная функция аналогового фильтра . Заметим, что данная функция является периодической функцией, с периодом . Путем вычисления коэффициентов ряда Фурье функции , можно найти импульсную переходную характеристику цифрового КИХ – фильтра.

При реализации данного подхода приходится сталкиваться с тем, что полученный ряд Фурье имеет бесконечное число коэффициентов разложения и, следовательно, такой фильтр невозможно реализовать. На практике, количество членов ряда Фурье ограничивают, что приводит к явлению Гиббса, заключающееся в появлении пульсаций амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра.

Построим фильтр низких частот (ФНЧ), АЧХ которого, представлена на Рис.2.1.

0

Рис.2.1.

Импульсную переходную характеристику ФНЧ получим путем прямого вычисления коэффициентов Фурье частотной передаточной функции аналогового фильтра , . Здесь является нормированной частотой среза

(2.12)

где - частота дискретизации.

Импульсная переходная характеристика определяется выражением:

(2.13)

Рассмотрим пример. Зададим частоту среза Гц, , при количестве отсчетов и частоте дискретизации Гц. Проведем моделирование в среде математического пакета Mathcad.

Импульсная переходная характеристика ФНЧ имеет вид:

Рис.2.2.

Частотная передаточная функция цифрового фильтра определяется четырьмя различными случаями, соответствующими типу четности количества отсчетов N импульсной переходной характеристики и типу симметрии (четности и нечетности).

N нечетно, четна:

(2.14)

;

N нечетно, нечетна:

(2.15)

N четно, четна:

(2.16)

N четно, нечетна:

(2.17)

В рассматриваемом случае N нечетно, а - четная функция.

Свойства амплитудно-частотной характеристики ФНЧ существенно зависят от количества отсчетов N, или длины импульсно-переходной характеристики.

Рассмотрим три случая: N=101, N=501 и N=1001.

Рис.2.3.

Рис.2.4.

Рис.2.5.

Из анализа АЧХ следует, что с ростом N характеристика все более приближается к заданной прямоугольной (Риc.2.1.), хотя колебательность увеличивается. Для рассмотренных трех случаев относительная ошибка аппроксимации идеальной АЧХ определяемая выражением

(2.18)

составила соответственно %, % и %, то есть уменьшилась более чем в 7 раз.

Ускорить сходимость ряда Фурье можно путем введения некоторых весовых функций – «окон». Первой рассмотрим введение весовой функции Хэннинга:

(2.19)

В этом случае АЧХ фильтра при N=501 имеет вид мало чем отличающийся от исходной характеристики

Рис.2.6.