5 Лабораторна робота № 5 дослідження частотних характеристик динамічних ланок системи автоматичного керування

Мета роботи:

- ознайомитись з частотними методами дослідження динамічних ланок.

- оцінити вплив демпфування на частотні характеристики линки 2-го порядку.

Час виконання роботи – 4 години.

5.1 Загальні теоретичні відомості

При частотному методі дослідження на вхід об’єкта, як вхідна динамічна дія, подається гармонічний сигнал з постійною амплітудою і змінною частотою. Для кожної частоти ω на виході стійкого лінійного об’єкта, після затухання перехідного процесу, встановлюються вимушені гармонічні коливання з тією ж частотою, але відрізняючись в загальному випадку по амплітуді та фазі від вхідних коливань (рис. 5.1, а). Залежність відношення амплітуд та фази φ від частоти ω називають відповідно амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) і фазочастотною характеристикою (ФЧХ) (рис. 5.1, б та 5.1, в) і однозначно визначаються параметрами об’єкта що досліджуються. В ряді випадків користуються амплітудно-фазовою характеристикою (АЧХ), зображуючи в полярних координатах залежність W(tω) комплексній плоскості (рис. 5.1, г). Значення частотних характеристик дозволяє вирішувати задачі синтезу систем автоматичного керування, проводити їх корекцію, оцінювати їх стійкість і характер перехідного процесу і т.д.

Рисунок 5.1 – Частотні характеристики

При відомому математичному описі об’єкта його частотні характеристики можуть бути отримані аналітично, для чого в передаточній функції аргумент приймається чисто уявним Im. При цьому передаточна функція після перетворювань може бути представлена дійсною і уявною частинами:

. (5.1)

Задаючись як параметром, отримають крапки на комплексні плоскості, сукупність яких і являє собою АФХ об’єкта.

Для отримання АЧХ і ФЧХ визначають вираження для модуля і аргументу АФХ:

, (5.2)

. (5.3)

Частотні характеристики можуть бути отримані експериментальним шляхом, при цьому в багатьох випадках зручно досліджувати не самі об’єкти, а їх моделі, наприклад, набрані на електронних обчислювальних машинах. При цьому реалізується досить легко вхідна дія з перебудовуємою частотою від універсальних генераторів, спрощується синхронне реєстрування вхідного і вихідного сигналів осцилографами і самописцями. На електронній моделі набагато простіше, ніж на об’єкті, варіювати показниками для визначення їх оптимальних значень.

Розглянемо опис роботи коливальної ланки і визначним його речову та уявну частини, а також вирази для розрахунку частотних характеристик.

Рівняння руху:

. (5.4)

Передатна функція:

. (5.5)

Після зміни комплексна передаточна функція буде мати вид:

. (5.6)

Відкіля:

- речова характеристика

, (5.7)

- уявна характеристика

. (5.8)

При частотному аналізі використовуються гармонійні сигнали виду:

. (5.9)

Такий сигнал характеризується кутовою частотою та комплексною амплітудою:

- кутова частота, рад/с.;

- комплексна амплітуда.

Кутова частота і комплексна амплітуда дуже зручні при математичних викладках, але на практиці буває зручніше використовувати інші характеристики:

- частота, Гц;

- амплітуда сигналу, дорівнює модулю комплексної амплітуди;

- початкова фаза сигналу, дорівнює аргументу комплексної амплітуди (в радіанах).

Тоді формула (5.9) матиме вигляд:

. (5.10)

При подачі на вхід лінійної ланки гармонійного сигналу x(t), вихідний сигнал y(t) також буде гармонійним. Частота вихідного сигналу дорівнює частоті вхідного сигналу, а відношення комплексних амплітуд залежить від частоти і визначається частотною характеристикою ланки.

Диференціювання гармонійного сигналу за часом тотожне множенню його комплексної амплітуди на iω, тому частотна характеристика ланки легко визначається з ДУ ланки.

Частотна характеристика ланки другого порядку у комплексному вигляді:

. (5.11)

Амплітудно-частотна характеристика:

. (5.12)

Фазочастотна характеристика:

. (5.13)

У різних випадках можуть бути зручні різні форми графічного представлення частотної характеристики:

, (5.14)

, (5.15)

.

Задається кінцева множина частот для числового рішення і визначаються АЧХ та ФЧХ. Отримані характеристики аналізуються і робляться висновки.

Рисунок 5.2 – Амплітудно-частотна характеристика

Рисунок 5.3 – Фазочастотна характеристика