4. Точечная оценка вероятности события

Пусть произошло опытов.

СВ – индикатор события А в i– ом опыте:

Тогда событие А произошло раз, и раз – оно не произошло. Частота события А выражается формулой: .

Рассмотрим частоту события как оценку вероятности появления события.

1. Так как опыты не зависимы, то СВ распределена по биномиальному закону с параметрами n и p. Тогда, учитывая формулу , получим:

несмещённая оценка .

2. По теореме Бернулли имеем состоятельная оценка .

Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки , являясь оценкой вероятности события , есть несмещённая состоятельная оценка функции распределения случайной величины Х.

5. Точечная оценка математического ожидания

Рассмотрим выборочную среднюю как оценку генеральной средней – истинного значения распределения.

1. 

несмещённая оценка .

2. По теореме Чебышева имеем

состоятельная оценка .

6. Точечная оценка дисперсии

Рассмотрим выборочную дисперсию как оценку генеральной дисперсии –истинного значения распределения.

Так как статистическая дисперсия не зависит от выбора начала координат, то выберем начало координат в точке , то есть отцентрируем СВ X.

Тогда: .

.

Но .

Тогда имеем смещённая оценка .

Смещение оценки произошло потому, что в формуле отклонение отсчитывается не от истинного математического ожидания, а от его статистического аналога .

Чтобы исправить этот недостаток, вводят:

• Исправленную выборочную дисперсию – ,

где – исправленное выборочное квадратическое отклонение.

Учитывая, что ,

имеем: состоятельная оценка .

Замечание. При больших значениях п разница между и невелика и они практически равны, поэтому оценку чаще используют для оценки дисперсии при малых выборках, обычно при .

§2.2 Интервальные оценки параметров распределения генеральной совокупности

1. Понятие интервальной оценки параметров

При замене на их точечные оценки совершается ошибка.

Оценить её можно с помощью вероятности .Чем меньше разность , тем точнее оценка.

• Вероятность γ того, что мы не ошибёмся, если поверим оценке, построенной с помощью выборки называется уровнем доверия (надёжностью).

• Интервал , который покрывает неизвестный параметр с надёжностью , называется доверительным; – точность оценки.

С геометрической точки зрения: доверительная вероятность численно равна площади заштрихованной области под графиком дифференциальной функции , вычисленной на интервале .

Исходя из центральной предельной теоремы: , получаем, что чем больше надёжность (вероятность), тем больше аргумент функции Лапласа и тем больше значение (при заданном ). Следовательно, чем больше надёжность, тем шире доверительный интервал, тем больше вероятность ошибки, что .