2. Односторонние доверительные интервалы

Если интерес представляет ситуация, когда важно сравнение только с одним критическим значением, то используют односторонние доверительные интервалы:

для определённого уровня доверия строят двусторонний доверительный интервал, который затем расширяют за счёт одной из его границ.

Для двустороннего доверительного интервала:

Тогда для одностороннего доверительного интервала:

В результате получим односторонний интервал или с большей гарантией . Таким образом "односторонний" подход позволяет вдвое снизить ошибку .

• Значение , для которого выполняется равенство

называется квантилью.

3. Доверительный интервал для оценки вероятности

I случай ( неизвестен объём генеральной совокупности ).

Пусть событие А наступило раз в испытаниях ( – объём выборки).

Тогда – точечная оценка вероятности наступления события в одном испытании. По следствию из центральной предельной теоремы, имеем:

,

где – аргумент функции Лапласа .

Т.к. , , то .

II случай ( известен объём генеральной совокупности ): .

• Формулы справедливы для достаточно больших , когда .

4. Доверительный интервал для оценки математического ожидания:

I случай (известно среднее квадратическое отклонение )

Среднее выборочное СВ , равное , представляет собой сумму сравнительно большого числа независимых величин и, согласно центральной предельной теореме, имеет распределение, близкое к нормальному. При этом:

(т.к. – несмещённая оценка );

.

Тогда

, где – аргумент функции Лапласа .

• – объём выборки, необходимый для определения точности оценки , которая не превосходит заданного значения с заданным .

II случай (неизвестно и неизвестен объём генеральной совокупности ).

, где несмещённая оценка ;

− табулировано распределением Стьюдента.

• – объём выборки, необходимый для определения точности оценки , которая не превосходит заданного значения с заданным .

III случай (неизвестно и известен объём генеральной совокупности ).

, где несмещённая оценка .

• – объём выборки, необходимый для определения точности оценки , которая не превосходит заданного значения с заданным .

5. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения

Пусть для выборки объёма задана надёжность, с которой нужно оценить отклонение найденного исправленного квадратического отклонения от истинного :

.

Тогда

Введём – табулировано. Учитывая не отрицательность среднего квадратического отклонения, окончательно получим:

Если ,	то
Если	то

§3. Проверка статистических гипотез

1. Гипотезы. Постановка вопроса

Так как на основе статистического материала вычисляются лишь оценки истинных параметров распределения, то встаёт вопрос о значимости расхождений между статистическими вычислениями и действительностью.

• Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называется любое предположение о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

• Нулевой гипотезой – называют гипотезу, выдвигаемую в качестве основной, которая отвергает значимость расхождений.

• Альтернативной (конкурирующей) гипотезой называется гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе .

• Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез.

Так как решение о справедливости гипотезы принимается на основании выборочных данных, то могут возникать ошибки двух родов.

Ошибка I рода	Ошибка II рода
Отвергается основная (нулевая) гипотеза, хотя она верна.	Отвергается конкурирующая гипотеза, хотя она верна.
Вероятность ошибки: , – уровень значимости критерия (обычно ; 0,01; 0,005; 0,001).	Вероятность ошибки: (величина , как правило, заранее неизвестна)
Вероятность принять верную (нулевую) гипотезу: .	Вероятность принять верную (конкурирующую) гипотезу: , – мощность критерия.

Последствия ошибок 1-го и 2-го рода могут быть абсолютно различными: в одних случаях надо минимизировать , а в других – . Так, применительно к радиолокации говорят, что – вероятность пропустить сигнал, – вероятность ложной тревоги. Применительно к производству, к торговле можно сказать, что – риск поставщика (т. е. забраковка всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), – риск потребителя (т. е. приём по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющих стандарту). Применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го – осуждение невиновного.

Следует отметить, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объёма выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

• Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу , называется статистическим критерием (критерием) проверки гипотезы .

• Статистикой (тестом) называют СВ , которая служит для проверки гипотезы.

• Критической областью называют совокупность значений статистики , при которых нулевая гипотеза отвергается.

• Критическими точками называют точки, отделяющие критическую область от области принятия нулевой гипотезы.

СВ имеет симметричный закон распределения с математическим ожиданием, равным нулю. Положительные значения табулированы с учётом уровня значимости.

Различают три типа критической области:

Если , то нулевую гипотезу следует отвергнуть (принимается альтернативная гипотеза). При этом может быть совершена ошибка I–ого рода: .

Схема проверки нулевой гипотезы

1. Определяется критическая область с учётом гипотез:

   Нулевая гипотеза	Альтернативная гипотеза	Критическая область
   , где – истинное значение исследуемого параметра

2. По выборочным данным вычисляется число .

3. Из таблиц находится с учётом уровня значимости , исходя из следующих соотношений:

   Для двусторонней
   Для левосторонней
   Для правосторонней

4. Делают вывод: если , то H_o отвергается (принимается H₁).