Раздел 25.2. Критерий (и его статистика) как инструмент проверки статистической гипотезы

Проверить статистическую гипотезу – это значит проверить, согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой. Проверка осуществляется с помощью статистического критерия.

Определение 25.2.1.Статистический критерий – это метод проверки статистической гипотезы, включающий в себя статистику критерия - случайную величину, закон распределения которой (вместе со значениями параметров) известен в случае, если принятая гипотеза справедлива. Напоминание: статистика (выборочная характеристика) – это функция от (случайной) выборки)

В состав критерия входят:

- формула расчета значения статистики

- правило определения числа степеней свободы (количества возможных направлений изменчивости признака; как правило, это число линейно зависит от объема выборки и равняется, например, n – 1, n – 2 , для ряда критериев берется просто объем выборки n)

- теоретическое распределение для данного числа степеней свободы (сведенные в таблицу)

- правило соотнесения эмпирического значения критерия с теоретическим распределением для определения того, что верна основная гипотеза.

Определение 25.2.2.

Гипотезу, выдвинутую для проверки ее согласия с выборочными данными, называют нулевой или основной гипотезой и обозначают H₀. Вместе с гипотезой H₀ выдвигается альтернативная или конкурирующая гипотеза, которая обозначается H₁.

Напоминание:

F_Х(x) = Р{Х < х}, х є (-∞, ∞ ) – функция распределения случайной величины Х

P (x₁ ≤ X ≤ x₂) = F(x₁ ) - F(x₂) – вероятность для случайной величины Х попасть в промежуток есть приращение ее функции распределения

Большинство задач математической статистики может быть сведено к четырем группам. Приведем самую общую постановку:

1. Задача согласия

Х₁… ,Х_n - выборка из генеральной совокупности с функцией распределения F.

G – функция распределения известного закона.

H₀ : F = G

H₁.: F  G

То есть, вопрос ставится так: можно ли полагать распределение генеральной совокупности соответствующим известному распределению G

2. Задача симметрии

Х₁… ,Х_n - выборка из генеральной совокупности с функцией распределения F.

H₀ : F (– х) = 1 – F(x)

H₁.: F (– х)  1 – F(x)

То есть, является ли распределение симметричным?

3. Задача однородности

Х₁… ,Х_n - выборка из генеральной совокупности с функцией распределения F.

Y₁… ,Y_m - выборка из генеральной совокупности с функцией распределения G.

H₀ : F = G

H₁.: F  G

Носит ли различие между выборками случайный или закономерный характер, то есть принадлежат ли они одной генеральной совокупности или разным?

Замечание. Альтернативная гипотеза H₁.: F  G (гипотеза неоднородности) является неединственной в данном случае. Можно сформулировать альтернативу доминирования, сдвига, масштаба (см, например, М.Б.Лагутин «Наглядная математическая статистика»)

4. Задача независимости

(Х₁, Y₁ ), (Х₂, Y₂ ) , … (Х_n, Y_n ) - выборка из двумерной генеральной совокупности c функцией распределения F_XY .

Х₁… ,Х_n - выборка из генеральной совокупности с функцией распределения F.

Y₁… ,Y_m - выборка из генеральной совокупности с функцией распределения G.

H₀ : F_XY = F · G

H₁.: F_XY  F · G