Задания для самостоятельной работы

1. Найти пределы 1) ; 2) .

2. Исследовать сходимость рядов:

1) ; 2 ; 3) ; 4) .

§3. Функции комплексной переменной

Определение. В области задана функция комплексной переменной , если каждому значению по определенному закону поставлено в соответствие одно (в случае однозначной функции) или большее число (в случае многозначной функции) значений .

Всякая функция комплексной переменной представима в виде

,

где (действительная часть функции) и (мнимая часть) суть действительные функции действительных переменных и .

Пример 1. Найти действительную и мнимую части функции

1) ; 2) .

Решение. Полагая , запишем

1) . Значит, , .

2) .

Значит, , . ☻

Основные трансцендентные функции комплексной переменной.

1. Показательная функция определяется как сумма абсолютно сходящегося во всей комплексной плоскости степенного ряда

.

Основные свойства функции :

; ; ; ; .

2. Тригонометрические функции определяются абсолютно сходящимися во всей комплексной плоскости степенными рядами

,

Формулы Эйлера

; ; .

Пример 2. Представить в алгебраической форме комплексное число .

Решение. По формуле Эйлера

.☻

Функции определяются равенствами ; .

Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии.

3. Гиперболические функции определяются равенствами

; ; ; .

Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями

Задача 1. Используя формулы Эйлера, доказать соотношения

; ;

; ;

; ;

; ,

а также следующие формулы

;

;

;

;

;

.

Пример 3. Выделить действительную и мнимую части функции .

Решение. Полагаем , тогда

.

В силу соотношений задачи 1 имеем , то есть , . ☻

4. Логарифмическая функция , , определяется как функция, обратная показательной. Если , , то называется логарифмом числа . Полагая , , получим или

Значит,

Эта функция является многозначной. Главным значением функции называется то значение, которое соответствует главному значению аргумента числа :

.

Для логарифмической функции справедливы следующие соотношения:

.

В качестве упражнения рекомендуем доказать эти три соотношения.

Пример 4. Представить в алгебраической форме комплексное число .

Решение. (см. пример 10 ,§1) . Таким образом,

☻

5. Общая степенная функция , где – любое комплексное число, определяется равенством .

В силу многозначности логарифма функция многозначна. Главное значение функции соответствует главному значению : .

6. Общая показательная функция , где – любое комплексное число, определяется равенством

.

Главное значение этой функции .

Пример 5. Найти 1) ; 2) ; 3) .

Решение. Согласно формуле п.6 1) .

2)

3) Решить самостоятельно. Ответ: . ☻

7. Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные соответственно к синусу и косинусу:

если , если .

Аналогично определяются функции , а также обратные гиперболические функции. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические:

; ;

; ;

; .

Покажем справедливость первого соотношения. Если , то . На основании формул Эйлера , откуда или . Решая это квадратное относительно уравнение, получим . (Здесь символом обозначены оба значения корня). Значит, = .

Оставшиеся соотношения рекомендуем показать в качестве упражнения.

Пример 6. Найти все значения .

Решение.

- целое. ☻