Задания для самостоятельной работы

1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функций

,

Доказать. что

;	;	;	;
;	;	;	.

2. Показать, что следующие функции являются гармоническими:

1) ,	2) ,	3) ,
4) ,	5) ,	6)

3. Найти аналитические функции по заданной действительной или мнимой части:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Построить аналитическую функцию по условиям:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) .

§6. Интеграл от функции комплексной переменной

При изучении раздела “Теория вычетов и ее приложения” следует прежде всего усвоить понятие интеграла от функции комплексной переменной. Вычисление интеграла от функции комплексной переменной по кривой сводится к вычислению криволинейных интегралов второго рода:

. (1)

Основные свойства интеграла:

1. Линейность: .

2. Аддитивность: .

3. Изменение знака при изменении направления: .

4. Оценка интеграла по модулю: .

Здесь на кривой интегрирования, – длина этой кривой.

Если – параметрическое уравнение кривой интегрирования, а соответственно начало и конец этой кривой, то имеет место формула

(2)

Если путь интегрирования – окружность с центром в точке радиуса , то следует делать замену переменной вида . Здесь –действительная переменная интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл , где дуга представляет собой

а) прямолинейный отрезок, соединяющий точку с точкой ;

б) ломаную , где , , ;

в) параболу .

Решение. Применяя формулу (1), получим

.

а) Уравнение прямой, соединяющей точки и _, имеет вид , здесь . Поэтому

.

б) На отрезке , ;

на отрезке , .

Используя свойство аддитивности, получаем

.

в) Для параболы имеем .

Значит, .

Получили три различных результата. Этот пример показывает, что интеграл от непрерывной, но не аналитической функции зависит от пути интегрирования.

Ниже (§7) будет показано, что интеграл от функции , однозначной и аналитической в односвязной области , не зависит от пути интегрирования.

Задача 1. Вычислить , где , (начало интегрирования в точке ). Ответ: - .

Если однозначная функция аналитична в односвязной области , то интеграл , как функция верхнего предела является аналитической функцией в области и представляет собой одну из первообразных функций , то есть . Имеет место формула Ньютона-Лейбница:

,

где , , а – какая-либо первообразная функции .

Если функции – аналитические в односвязной области и точки , , то имеет место формула интегрирования по частям:

.

Пример 2. Вычислить интеграл , где – верхняя половина эллипса , начало пути в точке .

Решение. 1 способ. Параметрические уравнения эллипса Значит, Начальной точке интегрирования соответствует значение параметра , для конечной точки .

Следовательно,

=

=

2 способ. Подынтегральная функция – аналитическая на всей комплексной плоскости, значит, интеграл не зависит от пути интегрирования (только от начальной и конечной точки) и можно вычислить его по формуле Ньютона-Лейбница

.☻

Пример 3. Вычислить интеграл , где – окружность , – целое положительное число (окружность обходится против часовой стрелки).

Решение. Положим . Тогда

.

Рассмотрим сначала случай и напомним, что функция имеет период . Тогда . Когда , то .

Значит, .

Заметим, что результат не зависит ни от радиуса , ни от точки .☻

Пример 4. Оценить по модулю интеграл , где – верхняя половина окружности .

Решение. На кривой интегрирования модуль подынтегральной функции , длина этой кривой . Согласно свойству 4 имеем

.☻