Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить все возможные значения интеграла при различных положениях особых точек 0,1,-1 относительно контура (предполагается, что не проходит ни через одну из этих точек).

2. Вычислить , если контур содержит внутри себя круг .

3. Вычислить , если точка лежит внутри контура .

4. Вычислить , если

а) точка 0 лежит внутри, а точка 1 – вне контура С;

б) точка 1 внутри, а точка 0 вне контура С;

в) обе особые точки 0 и 1 находятся внутри контура .

5. Вычислить интегралы

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

§8. Равномерная сходимость функционального ряда теорема абеля

Функциональный ряд

(1)

сходится в области , если при любом соответствующий этому значению числовой ряд является сходящимся.

Пусть ряд (1) сходится в области , тогда функция , значение которой в каждой точке равно сумме соответствующего числового ряда, называется суммой ряда (1) в области .

Если ряд (1) сходится в , то для любой фиксированной точки и для любого можно указать такой номер , начиная с которого для всех выполняется неравенство

.

Если обозначить – остаток ряда, то неравенство принимает вид при . Запись подчеркивает, что номер , вообще говоря, не является одинаковым для всех точек области сходимости ряда.

Определение. Если для любого можно указать такой номер , что при неравенство выполняется сразу для всех точек , то ряд (1) называется равномерно сходящимся в области .

Если члены ряда (1) являются аналитическими функциями в односвязной области и ряд сходится в этой области равномерно, то сумма ряда также является функцией, аналитической в области (теорема Вейерштрасса). В этом случае ряд можно дифференцировать почленно сколько угодно раз.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда . Найти сумму этого ряда.

Решение. Формула для суммы членов геометрической прогрессии

(2)

справедлива при любом комплексном . Так как , если и , если , то получаем

Но сумма (2) является частичной суммой заданного ряда. Значит, заданный ряд

(3)

сходится внутри круга и сумма этого ряда равна

.

Вне единичного круга (при ) этот ряд расходится. На окружности ряд (3) также расходится, так как – не выполнено необходимое условие сходимости.

Заметим, что в круге , ряд (3) сходится равномерно. ☻

Ряд вида

, (4)

где – комплексные постоянные, называется степенным рядом (с центром в точке ).

Основной теоремой теории степенных рядов является

Теорема Абеля. Если степенной ряд (4) сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно во всех точках , для которых . В замкнутой области ряд сходится равномерно.

Геометрически: если ряд (4) сходится в точке , то он сходится абсолютно в круге с центром в точке радиуса , причем в круге этот ряд сходится равномерно. Если же ряд расходится в некоторой точке , то он расходится и при любых , для которых .

Область сходимости степенного ряда (4) есть круг с центром в точке , радиус которого определяется по формуле Коши-Адамара

(5)

или по формуле

(6)

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Здесь . По формуле (5) находим радиус сходимости данного ряда:

.

Здесь учтено, что .

Можно получить тот же результат с помощью формулы (6):

.

Значит, область сходимости данного ряда – круг . ☻

Задача 1. Показать, что областью сходимости ряда является круг .

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда .

Сходится ли этот ряд в точке ?

Решение. Здесь , значит, .

Применим формулу (5) для определения радиуса сходимости:

.

Значит, ряд сходится в круге . Так как точка лежит вне этого круга, то ряд в точке расходится. ☻

Задача 2. Показать, что область сходимости ряда – вся комплексная плоскость.