2.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости задана прямая , не параллельная оси Оy. Тогда для её направляющего вектора имеем .

Угловым коэффициентом прямой l с направляющим вектором называется число .

В прямоугольной декартовой системе координат угловой коэффициент прямой численно равно тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox.

Несложно показать, что число k не зависит от выбора направляющего вектора прямой, т.е. для данной прямой оно определено однозначно.

Пусть дана точка M₀(x₀,y₀)∈l и угловой коэффициент k прямой .

1. Покажем, что если точка M(x,y)∈l, то ее координаты удовлетворяют уравнению (6).

является направляющим вектором и по определению . Отсюда k(x-x₀)=y-y₀.

Если в качестве выбрать точку B(0, b) пересечения с осью Оy, получим k(x-0)=y-b; kx=y-b;

(6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом k, отсекающий на оси Оy отрезок b.

2. Обратно, можно показать что удовлетворяющих (6) соответствующая точка .

Из 1 и 2 по определению 1 следует, что прямая l задаётся уравнением (6)

Замечание 2. В случае уравнение прямой очевидно имеет вид x=a, где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оx.

2.5. Общее уравнение прямой

Теорема 1. В аффинной системе координат всякое уравнение первой степени

Ах+Ву+С=0, где А²+В² 0 (7)

задает прямую с направляющим вектором .

Обратно, любая прямая на плоскости имеет уравнение вида (7) – общее уравнение прямой.

Доказательство: 1) Пусть в аффинной системе координат дано уравнение Ах+Ву+С=0, . Покажем, что все точки, координаты которых удовлетворяют (7), лежат на одной прямой с направляющим вектором

Пусть - фиксированная точка, координаты которой удовлетворяют (7), а - любая другая точка, удовлетворяющая (7), тогда

Если A0 и B0, то (*). Получаем, что координаты точки удовлетворяют уравнению (*), которое является уравнением прямой вида (3) по точке и направляющему вектору . Таким образом, все точки, удовлетворяющие уравнению (7), лежат на прямой (*).

Если А=0, то By+C=0; (**) - уравнение прямой, параллельной оси Оx.

Если В=0, то Ax+C=0; (***) - уравнение прямой параллельной оси Оy.

Таким образом, в любом случае все точки , удовлетворяющие уравнению (7) лежат на одной прямой на плоскости.

2) Пусть прямая на плоскости проходит через точку с направляющим вектором . Покажем, что её уравнение можно привести к виду (7).

Если A0 и B0, согласно (3), уравнение : . Умножим обе части уравнения на АВ:

.

Обозначив –Ax₀–By₀=C, получим, что прямая l имеет уравнение вида - уравнение вида (7)

Если A=0 получаем согласно (2), уравнение l: , откуда при t∈ℝ получаем x∈ℝ a у=у₀. Таким образом, уравнение данной прямой приводится к виду у-у₀=0 – уравнение вида (7) где А=0, В=1, С=-y₀

Случай B=0 рассматривается аналогично. Теорема доказана.