7. Взаимное расположение прямых и плоскостей
7.1. Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть в аффинной
системе координат
заданы плоскости:
Для
и
возможны случаи:
1.
-прямая.
2.
3.
совпадает
с
,
.
Заметим, что
является общей точкой плоскостей
и
числа
удовлетворяют системе уравнений
Выпишем основную и расширенную матрицы системы (1)
Пусть
rang
A=r, rang
=R.
Если
(1)
несовместна
и
не имеют общих точек, т.е.
.Если
,
т.е. после приведения матрицы А
и
к ступенчатому виду, одна из строк
обратилась в нулевую. Это возможно лишь
в случае
,
,
,
уравнения
в системе (1) равносильны и задают одну
и ту же плоскость, т.е
.
Обратно, можно
показать, что если
=
,
то
.
Если
,
то согласно b)
и
не могут совпадать. Но по теореме
Кронекера- Капелли (1) имеет хотя бы одно
решение
и
имеют хотя бы одну общую точку
.
Заметим, что любую
точку
и направляющий вектор
можно найти как в 6.3.
7.2. Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть в аффинной
системе координат
дана плоскость
и прямая
:
,
t∈ℝ
(2) следовательно:
.
Для прямой и плоскости возможны случаи:
a)
пересекаются в точке
.
б)
.
в)
.
а) Пусть
∦
по теореме 8. В этом случае
и
пересекаются в точке
.
Найдем координаты
точки
,
используя параметрические уравнения
прямой (2) и уравнение плоскости
.
Так как
то её координаты удовлетворяют (2):
для некоторого
.
Так как
,
то
.
С учетом (3),
.
.
Найденное значение
параметра
достаточно подставить в уравнения (3),
получим координаты
б) Пусть
||
и
;
В этом случае прямая лежит в плоскости .
в) Пусть
||
и
,
в этом случае
.
7.3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Пусть в аффинной системе координат прямые заданы своими уравнениями:
Для прямых и возможны случаи:
а) скрещиваются
б) пересекаются
в) параллельны
г) совпадают
Рассмотрим векторы
.
а) Прямые
и
скрещиваются
векторы
,
и
некомпланарны
по
критерию компланарности векторов
б) и пересекаются , и компланарны и ∦
в) и параллельны , и компланарны и ||
г) и совпадают и коллинеарны, и коллинеарны
