4.2. Уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам

Пусть ∦ .

Заметим, что M(x,y,z)∈  лежит в плоскости   векторы (x-x₀,y-y₀,z-z₀), компланарны  по критерию компланарности векторов в аффинной системе координат (теорема ) - уравнение плоскости по точке и двум некомпланарным направляющим векторам .

Таким образом (2) является уравнением плоскости .

4.3. Общее уравнение плоскости

Теорема 5. В аффинной системе координат всякая плоскость может быть задана уравнением - общее уравнение плоскости.

Обратно, всякое уравнение (4) определяет некоторую плоскость.

Доказательство: 1. Любая плоскость в аффинной системе координат имеет уравнение вида (2). Раскрывая определитель и группируя слагаемые с x,y,z получим уравнение вида (4).

2. Обратно, пусть координаты некоторой точки удовлетворяет уравнению (4): . Так как A,B,C не равны нулю одновременно, то среди них существует коэффициент 0.

Пусть например С 0,

Тогда удовлетворяют уравнениям

если придать параметрам значения .

Таким образом удовлетворяют параметрическим уравнениям плоскости вида (1) по точке M и двум направляющим векторам и . То есть все точки, координаты которых удовлетворяют (4), лежат на этой плоскости. Теорема доказана.

4.4. Уравнение плоскости по трем точкам.

Пусть в аффинной системе координат дана плоскость  и координаты трех точек , причем не лежат на одной прямой.

Тогда , причем ∦ .

Согласно (2), запишем уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам .

- уравнение плоскости, проходящей через 3 точки , , .

5. Плоскость в прямоугольной системе координат

5.1. Нормальный вектор плоскости

Все уравнения плоскости, полученные для аффинной системы координат справедливы для прямоугольной системы координат .

Определение 3. Вектор называется нормальным вектором плоскости , если .

Теорема 6. Пусть в прямоугольной системе координат плоскость , задана общим уравнением . Тогда -нормальный вектор плоскости .

Доказательство: Пусть - произвольный вектор плоскости , т.е.

В прямоугольной системе координат левая часть представляет собой скалярное произведение векторов . И по условию ортогональности векторов .

Таким образом перпендикулярен произвольному вектору в плоскости по определению . Теорема доказана.

Теорема 7. Пусть в прямоугольной системе координат даны точка и плоскость . Тогда расстояние от точки до плоскости равно

Доказательство: аналогично доказательству теоремы 4.

5.2. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Пусть в прямоугольной системе координат дана плоскость , точка , - нормальный вектор плоскости . Тогда - уравнение плоскости по точке и нормальному вектору .

5.3 Угол между плоскостями

Если то угол между ними равен 0.

Если проведем плоскость . Пусть . Полагают - линейный угол двугранного угла между плоскостями.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат плоскости заданы своими общими уравнениями

Рассмотрим нормальные векторы плоскостей. По теореме 6:

В плоскости , проходящей через l₁ и l₂, чертёж выглядит так:

Тогда, в силу попарной перпендикулярности прямых, имеем = , следовательно = = .