Элементарные функции.

Элементарные функции, пожалуй, наиболее известный класс математических функций. Поэтому, не останавливаясь подробно на их описании, представим набор данных функций, имеющийся в составе системы MATLAB, Функции, перечисленные ниже, сгруппированы по функциональному назначению. В тригономет­рических функциях углы измеряются в радианах. Все функции могут использо­ваться в конструкции вида y=func(x), где func — имя функции. Обычно в такой форме задается информация о функции в системе MATLAB. Мы, однако, будем использовать для функций, возвращающих одиночный результат, более простую форму func(x). Форма [y,z,...]=func(x....) будет использоваться только в тех случаях, когда функция возвращает множественный результат.

Алгебраические и арифметические функции

В системе MATLAB определены следующие алгебраические и арифметические функции:

- abs(X) — возвращает абсолютную величину для каждого числового элемента вектора X. Если X содержит комплексные числа, abs(X) вычисляет модуль каж­дого числа. Примеры:

abs(-5) = 5

abs(3+4i) = 5

» abs([l -2 i 3i 2+3i])

ans = 1.0000 2.0000 1.0000 3.0000 3.6056

- ехр(Х) — возвращает экспоненту для каждого элемента X. Для комплексного числа z = х + i*y функция exp(z) вычисляет комплексную экспоненту: exp(z)=exp(x)*(cos(y)+i*sin(y)).

Примеры:

» ехр([1 2 3])

ans = 2.7183 7.3891 20.0855

» exp(2+3i)

ans = -7.3151 + 1.0427i

- factor(n) — возвращает вектор-строку, содержащую простые множители чис­ла n. Для массивов эта функция неприменима. Пример:

f = factor(221)

f = 13 17

- G=gcd(A, В) — возвращает массив, содержащий наибольшие общие делители соответствующих элементов массивов целых чисел А и В. Функция gcd(0,0) воз­вращает значение 0, в остальных случаях возвращаемый массив G содержит положительные целые числа;

- [G, С, D] = gcd(A, В) — возвращает массив наибольших общих делителей G и массивов С и D, которые удовлетворяют уравнению A(i) .*C(i) + B(i) .*D(i) = G(i). Они полезны для выполнения элементарных эрмитовых преобразований. При­меры:

» А=[2 6 9];

» В=[2 3 3];

» gcd(A,B)

ans = 2 3 3

» [G,C,D]=gcd(A,B)

G = 2 3 3

С = 0 0 0

D = 1 1 1

- lcm(A,B) — возвращает наименьшие общие кратные для соответствующих пар­ных элементов массивов А и В. Массивы А и В должны содержать положитель­ные целые числа и иметь одинаковую размерность (любой из них может быть скаляром). Пример:

» А=[1 3 5 4];

» В=[2 4 6 2];

» lcm(A,B)

ans = 2 12 30 4

- log (X) — возвращает натуральный логарифм элементов массива X. Для комп­лексного или отрицательного z, где z = х + y*i, вычисляется комплексный ло­гарифм в виде log(z) = log(abs(z)) + i*atan2(y,x). Функция логарифма вычис­ляется для каждого элемента массива. Область определения функции включает комплексные и отрицательные числа, что способно привести к непредвиден­ным результатам при некорректном использовании. Пример:

» Х=[1.2 3.34 5 2.3];

» 1оg(Х)

ans = 0.1823 1.2060 1.6094 0.8329

- log2(X) — возвращает логарифм по основанию 2 элементов массива X;

- [F,E] = 1оg2(Х) — возвращает массив действительных значений F и массив целых чисел Е. Элементы массива F обычно лежат в диапазоне 0.5 J abs(F) <1. Для действительных X возвращаемые массивы F удовлетворяют уравнению вида X = F.*2.E. Для нулевых значений X возвращаются F = 0 и Е = 0.

Пример:

» Х=[2 4.678 5; 0.987 1 3];

» [F,E] = 1og2(X)

F = 0.5000 0.5847 0.6250

0.9870 0.5000 0,7500

Е = 2 3 3

0 1 2

- log10(X) — возвращает логарифм по основанию 10 для каждого элемента X. Область функции включает комплексные числа, что способно привести к не­предвиденным результатам при некорректном использовании.

Пример;

» Х=[1.4 2,23 5.8 3]:

»1оg10(X)

ans = 0.1461 0.3483 0.7634 0.4771

- mod(x,y) — возвращает х mod у;

- mod(X,Y) — возвращает остаток от деления X на Y (т. е., X - Y.*floor(X./Y)) для ненулевого Y, и X в противном случае. Если операнды X и Y имеют одинаковый знак, функция mod(X, Y) возвращает тот же результат, что rem(X, Y). Однако (для положительных X и Y) mod(-x,y) = rem(-x,y)+y.

Примеры:

» М = mod(5,2)

М = 1

» mod(10,4)

ans = 2

- pow2(Y) — возвращает массив X, где каждый элемент есть 2^Y;

- pow2(F,E) — вычисляет X=F*2^E для соответствующих элементов F и Е. Аргумен­ты F и Е — массивы действительных и целых чисел соответственно.

Пример:

» d=pow2(pi/4,2)

d = 3.1416

- р = nextpow2(A) — возвращает такой показатель степени р, что 2^Р i abs(A). Эта функция эффективно применяется для выполнения быстрого преобразования Фурье. Если А не является скалярной величиной, то nextpow2 возвращает зна­чение nextpow2(length(A)).

Функция primes(n) возвращает вектор-строку простых чисел, меньших или равных n. Пример:

» р = primes(25)

p = 2 3 5 7 11 13 17 19 23

- [N,D] = pat(X) - возвращает массивы N и D, такие что N./D аппроксимирует X с точностью 1 .е-6*norm(X(:),1). Даже при том, что все числа с плавающей запя­той — рациональные числа, иногда желательно аппроксимировать их дробя­ми, у которых числитель и знаменатель являются по возможности малыми целыми числами. Функция rat пытается это сделать;

- [N,D] = rat(X,tol) — возвращает массивы N и D, такие что N./D аппроксимирует X с точностью tol.

- rat(X) без выходных параметров просто выдает на экран массив цепных дробей;

- rats(X,strlen) — возвращает ряд, полученный путем упрощенной рацио­нальной аппроксимации элементов X. Аргумент strlen — длина возвращае­мой строки. Функция возвращает знак «*», если полученное значение не может быть напечатано в строке, длина которой задана значением strlen. По умолчанию strlen=13. Тот же алгоритм аппроксимации используется в команд­ном окне MATLAB при задании рационального формата вывода командой format rat.

Пример:

» [g,j]=rat(pi,le-10)

g = 312689

j = 99532

- sqrt(A) — возвращает квадратный корень каждого элемента массива X. Для отрицательных и комплексных элементов X функция sqrt(X) вычисляет комп­лексный результат. Пример:

» А=[25 21.23 55.8 3];

» sqrt(A)

ans = 5.0 4.6076 7.4699 1.7321