3.5. Метод искусственного базиса

Симплекс-метод применяется для решения задач ЛП, представленных в специальной форме:

(16)

Характерная особенность задачи (16) – известное базисное допустимое решение

Чтобы применить симплекс-метод для решения задачи ЛП в произвольной форме, необходимо привести эту задачу к виду (16), т.е. выделить начальное допустимое базисное решение.

Для этого в симплекс-метод вводят подготовительный этап. Один из методов для реализации подготовительного этапа называется методом искусственного базиса и состоит в следующем [1,2,3].

Вычислительная схема метода искусственного базиса.

Шаг 1. Приводим задачу ЛП к канонической форме

(17)

с неотрицательными правыми частями .

Шаг 2. В каждую i-ю строку ограничений (17) вводим искусственную неотрицательную переменную x_i и строим вспомогательную задачу ЛП вида:

(18)

Эта задача имеет допустимое базисное решение и легко может быть сведена к виду (16). Для этого целевую функцию необходимо выразить через свободные переменные :

Шаг 3. Для построенной вспомогательной задачи строим симплексную таблицу

	b		…
			…
			…
…	…	…………..
			…

и находим оптимальное решение вспомогательной задачи с помощью симплекс-метода.

Шаг 4. Если и все переменные являются небазисными, то m переменных из войдут в базис и система ограничений, соответствующих симплексной таблице, будет иметь вид:

(19)

Так как переменные , то их исключили из системы (19), не нарушив при этом равенств. Выражая целевую функцию основной задачи через небазисные переменные системы (19), получим исходную задачу (17) в виде (16).

Шаг 5. Если , но в базисе остались искусственные переменные , для которых (вырожденный случай), то проводим для каждой искусственной переменной из базиса следующее преобразование симплексной таблицы:

Выбираем ведущим столбцом столбец такой переменной , для которой элемент индексной строки , а элемент столбца .

В этом случае строка искусственной переменной будет ведущей и после стандартного преобразования симплексной таблицы (шаг 6 из прямого симплекс – метода) искусственная переменная выведется из базиса.

В результате получим симплексную таблицу, соответствующую шагу 4.

Шаг 6. Если , то допустимого решения в исходной задаче (17) не существует (не могут все искусственные переменные быть равными нулю в задаче (18), а значит система ограничений задачи (17) несовместна) – процесс решения исходной задачи (17) завершается.

3.6. Пример

Выделить допустимое базисное решение для задачи ЛП.

Приведем задачу к канонической форме на минимум с неотрицательными правыми частями.

Заметим, что переменные и можно использовать для введения в исходный базис, поэтому в первую и третью строку ограничений можно не вводить искусственные переменные.

Во вторую строку ограничений вводим искусственную переменную z, потому что в этой строке нет переменной, которую можно взять базисной, не проводя при этом дополнительных преобразований всей системы ограничений.

Полученная вспомогательная задача имеет вид:

Приведем задачу к виду (16):

Выпишем соответствующую симплексную таблицу:

	B
	10	5	4	-1
	3	3	-2	0
	10	5	4	-1
	5	2	1	0

Ведущий столбец рекомендуется выбирать не по максимальному положительному элементу строки целевой функции, а так, чтобы из базиса выводилась искусственная базисная переменная (соответствующая ведущая строка должна быть строкой искусственной переменной). Так, выбрав ведущим столбцом, столбец переменной получим ведущую строку - строку с переменной z (выбирая ведущим столбцом , получили бы ведущую строку , и из базиса выводилась бы переменная ).

Итак, искусственная переменная z выйдет из базиса, а переменная введется в базис.

Симплексная таблица преобразуется к виду:

	B
	0	0	-1	0
	8	11/2	½	-1/2
	5/2	5/4	¼	-1/4
	5/2	¾	-1/4	¼

Так как значение , то полученный базис является начальным допустимым базисом для исходной задачи ЛП. Чтобы выразить целевую функцию через небазисные переменные , подставим значение базисной переменной в целевую функцию. В результате получим:

Тогда исходная задача будет иметь вид специальной формы задачи ЛП:

что и требовалось получить в результате решения вспомогательной задачи.