5.6. Пример решения задачи распределения ресурсов
Решим задачу распределения ресурсов по следующим данным :
1) = 200 млн. руб.;
2) = 4;
3) средства выделяются только в размерах, кратных 40 млн. руб.;
4) функции дохода заданы в таблице:
|
|
|
|
|
40 |
8 |
6 |
3 |
4 |
80 |
10 |
9 |
4 |
6 |
120 |
11 |
11 |
7 |
8 |
160 |
12 |
13 |
11 |
13 |
200 |
18 |
15 |
18 |
16 |
Этап . Условная оптимизация.
Последовательно
вычисляем
;
;
;
.
Считать начинаем
с последнего шага
.
Уравнение
Беллмана для этого шага имеет вид (25):
,
где
- это количество средств, остающихся
после выделения средств предприятиям
.
Вычисления
оформляем в таблице
= 4
|
|
|
0 |
0 |
0 |
40 |
4 |
40 |
80 |
6 |
80 |
120 |
8 |
120 |
160 |
13 |
160 |
200 |
16 |
200 |
Вычисления на
последующих шагах осложняются тем, что
необходимо учитывать найденную из
предыдущего шага функцию
.
Рассмотрим подробно вычисления для шага =3. Уравнение Беллмана для этого шага имеет вид:
.
Запишем вычисление
для всех допустимых значений
.
,
;
,
.
,
,
,
,
Эти вычисления оформляем в таблицу для шага =3:
= 3
|
|
|
0 |
0 |
0 |
40 |
4 |
0 |
80 |
7 |
40 |
120 |
9 |
40 |
160 |
13 |
0 |
200 |
18 |
200 |
Вычисления для шага =2 проводятся аналогично. В результате получается таблица:
= 2
|
|
|
0 |
0 |
0 |
40 |
6 |
40 |
80 |
10 |
40 |
120 |
13 |
80 |
160 |
16 |
80 |
200 |
13 |
40 |
Поскольку начальное состояние фикировано (общее количество выделяемых средств), то для шага =1 вычисления проводятся только для значения =200.
,
.
Этап . Безусловная оптимизация.
Находим безусловные оптимальные управления, используя уравнения состояний , :
.
.
Ответ.
Оптимальные вложения:
,
,
,
.
Максимальный
суммарный доход
.
Следует отметить, что таблицу 1-го шага достаточно было заполнить для начального состояния =200 млн. руб. Полная таблица шага 1 дает решение не одной задачи, а множества задач с любыми значениями от 40 до 200. При увеличении начальных средств до 240 необходимо в каждой -ой таблице добавить еще одну строку, соответствующую начальному состоянию =240$.