2.5. Пример

Решить задачу назначениях, которая определяется матрицей

При решении задачи знак выделения +, подлежащий уничтожению, обводим кружком. Последовательность из элементов 0' и 0* на втором шаге указываем стрелками.

Подготовительный этап. Максимальный элемент первого столбца матрицы равен 4. Поэтому для получения первого столбца необходимо из 4 вычесть элементы первого столбца матрицы. Аналогично для получения второго, третьего, четвертого и пятого столбцов вычитаем элементы этих столбцов из максимальных элементов 5, 3, 2 и 3 соответственно. В полученной матрице минимальный элемент каждой строки равен нулю, поэтому матрица найдена. Помечаем независимые нули: в первом столбце выбираем произвольный путь, тогда во втором и в третьем столбцах независимых нулей нет, в четвертом столбце помечаем независимый нуль, в пятом столбце независимого нуля нет. Следует заметить, что в рассматриваемой задаче возможны и другие варианты выбора независимых нулей предлагается рассмотреть эти варианты самостоятельно.

Первая итерация

Шаг 0. Выделяем знаком + первый и четвертый столбцы, которые содержат 0*.

Шаг 1. Просматриваем невыделенные нули матрицы . Помечаем щтрихом нуль, расположенный во второй строке и во втором столбце. Поскольку в этой строке содержится 0*, то имеем случай а) и ставим + на вторую строку, а знак + над превым столбцом обводим кружком (убираем). Помечаем штрихом нуль этого столбца, который лежит в третьей строке, не содержащей 0*. Имеем случай б), поэтому переходим к шагу 2.

Ш аг 0 Шаг 1

Ш аг 2. Строим последовательность: от последнего помеченного 0' движемся к 0* (первый столбец, вторая строка), затем от 0* из второй строки переходим к 0', расположенномув той же строке и во втором столбце. Поскольку второй столбец не содержит 0*, то процесс построения последовательности закончен. Найденная последовательность состоит из элементов: . Преобразованная последовательность принимает вид: . Вносим эти изменения в матрицу , чистим ее (убираем знаки + и штрих) и получаем в результате матрицу , в которой число независимых нулей (0*) увеличено на единицу. На этом первая итерация алгоритма завершается.

Поскольку последующие итерации проводятся аналогично, ниже приводятся результаты вычислений без дополнительных пояснений.

Вторая итерация

Ш аг 0 Шаг 1

Шаг 3 а), б), Шаг 3 в)

Шаг 1 Шаг 2

Шаг 2

Третья итерация

После третьей итерации количество независимых нулей (0*) стало равным размерности матрицы и поэтому процесс выбора закончен. Искомые элементы матрицы соответствуют позициям независимых нулей матрицы .

Значение целевой функции .

Оптимальное решение задачи о назначениях с соответствующей матрицей определяется набором со значениями: . Содержательно это означает, что первую работу выполняет второй исполнитель, вторую - третий исполнитель, третью работу - первый исполнитель, четвертую - пятый исполнитель и пятую работу выполняет четвертый исполнитель.