Статистические характеристики вариационного ряда

Наиболее существенные особенности распределения случайной величины могут быть выражены с помощью числовых характеристик

Различают два вида числовых выборочных характеристик вариационного ряда: 1) характеристики (меры) положения; 2) характеристики (меры) рассеяния.

Мерами положения называются характерные точки на оси абсцисс графика рас­пределения, около которых группируется подавляющее число наблюдений.

К мерам положения относятся различные виды средних, мода и медиана.

Среднее значение является основной числовой характеристикой положения вариационного ряда. Оно характеризует центр распределения, около которого группируется основная масса значений признака.

Различают следующие виды средних: арифметическое, взвешенное, квадратическое, кубическое, геометрическое, гармоническое, логарифмическое.

Наиболее широко используются среднее арифметическое и среднее взвешенное.

Среднее арифметическое рассчитывается для невзвешенного ряда: ;

а среднее взвешенное — для взвешенного интервального ряда: ,

здесь Û_j - середины интервалов группирования, остальные обозначения прежние. В примере: = 120 / 50 = 2,40.

Для приближенной оценки среднего при первичной обработке данных используют­ся непараметрические показатели: мода и медиана.

Модой (Мо) называется то значение признака, которому соответствует максималь­ная частота или частость. Графически моду легко определить по вариационной кривой или полигону распределения - это то значение признака U_i, которому соответствует максимум на указанных кривых. У интервального ряда модой является середина интервала с максимальной частотой или частостью. В примере модальным является интервал 2-3, поэтому Мо ≈ 2,5.

Более точно значение Мо можно определить по формуле:

где U_Mo - нижняя граница модального интервала, U - интервал группирования, n_Мо, n_Мо-1 и n_Мо+1 - частота модального, домодального и послемодального интервала.

В примере:

Вариационный ряд и вариационная кривая с одной модой называются одномодальными, с двумя модами - бимодальными, с тремя модами и более - полимодальными.

Медианой (Me) называется такое значение признака, которое соответствует сере­дине упорядоченного вариационного ряда, т.е. это то значение признака, которое делит упорядоченный ряд на две равные по численности части. Графически медиану легко определить по кумулятивной кривой - это то значение признака, которому соответствует накопленная частость на кумуляте W_x=0,5.

Медиана определяется по-разному у несгруппированных и сгруппированных рядов.

Если ряд несгруппирован, т.е. каждое значение признака встречается один раз, то при нечетном числе данных (номер медианного значения) : , а при четном числе:

Например, нечетный ряд: 2,3,4,5,6 Me=U₃=4;

четный ряд: 2,3,4,5,6,7 Ме=0,5*( U₃+ U₄) = 0,5*(4+5) = 4,5.

У взвешенных интервальных рядов медиана определяется по формуле:

где U _Ме - нижняя граница медианного интервала, N - объем выборки, n_{s Me-1} - накопленная частота домедианного интервала, n_Me - частота медианного интервала.

Медианный интервал выбирается по кумулятивной кривой или из условия примерного равенства сумм частот домедианных и послемедианных интервалов.

Например, для данных, приведенных в таблице: .

Соотношение среднего, моды и медианы таково: у симметричных распределений Мо=Ме= , а у асимметричных такого равенства не наблюдается. При этом у правоасимметричных (положительно асимметричных) рядов распределения Мо<Ме< , а у левоасимметричных (отрицательно асимметричных), наоборот Мо>Ме> (рис.1).

Мерами рассеяния называются статистические характеристики, которые указыва­ют на степень и характер концентрации или рассеяния значений признака относительно мер положения.

К

Рис.1

мерам рассеяния относятся выборочная дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации, выборочные показатели асимметрии и эксцесса.

Выборочной дисперсией называется средний квадрат отклонений значений признака от средней величины. Графически дисперсия отражает сжатость или растянутость вариационной кривой или полигона распределения вдоль оси абсцисс.

Выборочная дисперсия рассчитывается по формулам:

• для невзвешенного ряда и неупорядоченного признака: где N- объем выборки, U_i - значения признака, - - среднее;

• для взвешенного интервального ряда , где Û_j – середины интервалов, n_j - частоты.

Выборочная дисперсия S², рассчитанная по этим формулам, является заниженной оценкой истинной дисперсии ² генеральной совокупности. Такие оценки, имеющие систематическую погрешность (в данном случае занижение), называются смешенными оценками. Чтобы устранить это смещение, в знаменателе формулы S² используется не N, a (N-1). Поэтому формулы несмещенных оценок дисперсии имеют вид соответственно:

и

Дисперсия имеет размерность квадрата изучаемой величины, а это неудобно для практического ее применения. Поэтому используется квадратный корень из выборочной дисперсии, который называется стандартным (основным) отклонением или стандартом и имеет размерность самой изучаемой величины (является выборочной оценкой среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности).

Для того, чтобы сравнивать дисперсии разных признаков, например, дисперсии содержаний полезных компонентов и мощностей рудных тел (которые измеряются соответственно в % и м), рассчитывают безразмерный параметр, который называется коэффициентом вариации V и представляет собой относительное стандартное отклонение, т.е. стандартное отклонение, нормированное на среднее арифметическое .

По значениям коэффициента вариации V в геологии выделяют 5 типов распределений:

1) весьма равномерное V<5%, 2) равномерное V=5-40%, 3) неравномерное V=40-100% 4) весьма неравномерное V= 100-150%, 5) крайне неравномерное V> 150%.

Выборочный показатель асимметрии указывает на характер и степень симметрии или асимметрии вариационной кривой.

Коэффициент асимметрии является безразмерным параметром и представляет собой средний куб отклонений значений признака от средней величины, нормированный на куб стандартного отклонения. Рассчитывается по формулам:

для невзвешенного ряда и неупорядоченного признака:

для взвешенного интервального ряда:

По степени асимметрии выделяют 4 типа вариационных кривых:

1) симметричные А = 0; 2) практически симметричные |А| ≤ 0,1;

3) слабо асимметричные 0, 1< |А| ≤ 0,5 4) сильно асимметричные |А| > 0,5.

По характеру асимметрии различают 2 типа кривых:

1) правоасимметричные (положительно асимметричные) при А>0;

2) левоасимметричные (отрицательно асимметричные) при А<0.

Выборочный показатель эксцесса характеризует степень крутовершинности или плосковершинности вариационной кривой по сравнению с кривой нормального распределения. Рассчитывается по формулам:

для невзвешенного ряда: ,

для взвешенного ряда .

К оэффициент эксцесса также является безразмерным параметром. Он рассчитывается как средняя величина 4-ой степени отклонений значений признака от средней величины, нормированная на стандарт в 4-ой степени и уменьшенная на число 3, так как для нормального распределения величина

З

Рис.2

нак эксцесса указывает на положение вершины вариационной кривой относительно вершины кривой нормального распределения. При Е=0 степень островершинности вариационной кривой соответствует кривой нормального распределения. При Е>0 вариационная кривая является

островершинной и ее вершина располагается выше вершины кривой нормального распределения. При Е<0 вариационная кривая является плосковершинной, а ее вершина располагается ниже вершины кривой нормального распределения (рис.2).

При большом объеме совокупности все рассмотренные характеристики (кроме Мо и Me) рассчитываются методом моментов.