Виды статистических моментов

Статистическим моментом q-го порядка называется среднее из q-тых степеней отклонений значений признака от некоторой постоянной величины U₀.

Для взвешенного интервального ряда рассчитывается по формуле:

где q - порядок момента (M_q), N - объем выборки, к - количество интервалов вариационного ряда, Û_j – середина j-го интервала вариационного ряда, n_j - частоты.

Различают 5 видов моментов: 1) начальные m_q; 2) центральные μ_q; 3) основные v _q; 4) смешанные; 5) условные ^Km_q.

Начальными называются моменты, в которых U₀=0, т.е. начало отсчета совмещается с нулем (началом координат). Обозначаются m_q . При этом:

1) начальный момент 0 порядка (q=0): ;

2) начальный момент 1 порядка (q=1): - т.е. среднее взвешенное;

3) нач. момент 2 порядка (q=2): - т.е. средневзвешенный квадрат;

4) начальный момент 3 порядка (q=3): - т.е. средневзвешенный куб;

5) начальный момент 4 порядка (q=4): - т.е. средневзвешенная четвертая степень.

Однако начальные моменты становятся неудобными, если сравниваются распреде­ления двух однотипных признаков (например, длина и ширина раковин брахиопод одного рода), измеренных в одних и тех же единицах, но имеющих резко различные средние значения. Если в обеих выборках из каждого наблюдения вычесть свое среднее значение и отложить по оси абсцисс (геометрически это означает перенос центра распределения из начала координат в точку со средним значением признака) то отрицательные значения разностей окажутся слева от центра, положительные - справа, а само среднее у обоих распределений станет равным 0. Такое преобразование называется центрированием, а моменты, в которых оно используется, - центральными.

Центральными называются моменты, в которых U₀= , т.е. отклонения рассчитываются относительно средней величины ряда ( ). При этом:

1) центральный момент 0 порядка: ;

2) центральный момент 1 порядка:

3) центральный момент 2 порядка: - выборочная дисперсия;

4) центральный момент 3 порядка: используется для расчетов коэффициентов асимметрии;

5) центральный момент 4 порядка: используется для расчетов коэффициентов эксцесса.

При расчетах центральных моментов чаще используют не эти довольно громоздкие формулы, а более простые формулы связи начальных моментов с центральными: ;

; ;

Однако центральные моменты также становятся неудобными, если сравниваются распределения с разными стандартными отклонениями. Поэтому для сравнения распределений с разными стандартными отклонениями одного центрирования недостаточно, особенно, если сравниваются признаки с разными единицами измерения, например, содержания элементов и мощности рудных тел (% и м). В таких случаях нужно сравнивать распределения не исходных, а безразмерных (нормированных) величин, преобразованных подобно коэффициенту вариации. Для этого центрированное преобразование нужно нормировать (разделить) на стандартное отклонение и по оси абсцисс откладывать разности в долях стандартных отклонений. Оба распределения после такого преобразования можно назвать одинаковыми.

Рассмотренная операция нормирования используется при расчете основных моментов.

Основные моменты представляют собой нормированные, т.е. приведенные к одному масштабу безразмерные величины. Они рассчитываются путем деления центральных моментов q-го порядка на стандартные отклонения в q-ой степени, соответствующей порядку момента.

При этом:

I) основной момент 0 порядка:

2) основ, момент 1 порядка:

3) основной момент 2 порядка: ;

4) основной момент 3 порядка: — выборочный коэффициент асимметрии;

5) основной момент 4 порядка: - используется для расчета эксцесса: E=v₄ - 3.

Условные моменты рассчитывают, когда начало отсчета совпадает с серединой какого-либо произвольно взятого интервала (U₀= Û_j).

При большом объеме выборки статистики положения и рассеяния интервального вариационного ряда рассчитывают с помощью условных начальных моментов первых четырех порядков. Расчеты проводятся методом замены переменных в следующей последовательности:

1) составляют таблицу для вычисления условных начальных моментов (^km_q) следующего вида:

Расчет сумм для определения условных начальных моментов первых четырех порядков

Интервалы со- держаний желе- за, %	Середины интервалов Ûj	Часто- ты nj	Услов- ные классы
1	2	3	4	5	6	7	8
48-50	49	6	-2	-12	24	-48	96
50-52	51	10	-1	-10	10	-10	10
52-54	Ме=53	15	0	0	0	0	0
54-56	55	13	1	13	13	13	13
56-58	57	6	2	12	24	48	96
Сумма		50		3	71	3	215

2) совмещают место нуля U₀ с серединой медианного интервала ( ),

после чего определяют номера условных классов по формуле: c учетом знака; при этом номер медианного класса будет равен 0, так как , номера домедианных классов будут уменьшаться на 1, а послемедианных классов - увеличиваться на 1;

3) находят произведения частот на номера условных классов K_j в степени от 1 до 4 для каждого класса (столбцы 5-8), затем их суммы по столбцам 5-8, после чего - начальные условные моменты 4-х порядков по формулам:

; ;

;

4) находят центральные моменты 2, 3 и 4 порядков, используя те же, что и раньше, формулы связи условных начальных моментов с центральными:

где ; и - поправки У. Шеппарда ко 2-му, 3-му и 4-му центральным моментам поправки на дискретизацию реализаций непрерывных случайных величин, применяемые с целью уменьшения систематич. ошибок в задаче оценивания моментов непрерывных случайных величин при заданной системе округлений. 5) определяют основные моменты 3 и 4 порядка:

;

6) находят статистики распределения:

• среднее значение (начальный момент 1 порядка):

(U₀= Ме=53)

• дисперсия ; ;

• коэффициент вариации ;

• коэффициент асимметрии и

коэффициент эксцесса Е= v₄ - 3 =2,2054-3= -0,7942;

7) определяют среднеквадратические погрешности определения среднего , дисперсии , асимметрии , эксцесса и коэффициента вариации по формулам: ; ; ; ; ;

8) определяют упрощенные критерии согласия:

если одновременно <2 и <2, то с вероятностью 95% распределение вариационного ряда не противоречит нормальному.