3. Система аксиом Пеано.

Итальянский ученый Джузеппе Пеано (1885 – 1932) сформулировал систему аксиом, которую сейчас знает любой математик.

Аксиома 1. Существует натуральное число единица, не следующее ни за каким числом.

Аксиома 2. За любым натуральным числом следует одно и только одно число.

Аксиома 3. Всякое натуральное число, кроме единицы, следует за одним и только одним числом.

Аксиома 4. Если какая – нибудь теорема о свойствах натуральных чисел доказана для единицы и если из допущения, что она верна для натурального числа п, следует, что она верна для числа, непосредственно следующего за п, то она верна для всех натуральных чисел.

Оказалось, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел достаточно этих четырех аксиом. [3]

Глава 2. Интересные свойства замечательных чисел

Некоторым людям кажется, что натуральный ряд чисел скучен и однообразен и что о нем все уже известно, все сказано. Эти люди глубоко ошибаются. Уже в Древней Греции математики заметили многие интереснейшие свойства чисел этого ряда. Иногда эти свойства присущи отдельным числам, но чаще всего целым группам чисел. Одни из этих свойств просто любопытны, другие – имеют научное значение.

А разве интересны только те свойства, что заметили греки? Кроме них есть сотни и тысячи свойств. И свойства эти одно удивительнее другого.

Пример 1. Свойство чисел 135 и 144.

135 = (1+3+5) ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5, 144 = (1+4+4) ∙1 ∙ 4 ∙ 4.

Свойство: Числа равны произведению своих цифр на сумму этих цифр.

Пример 2.Свойства «обыкновенного» числа 37.

Свойство 1. 37 ∙ 3 = 111, 37∙ 6 = 222, 37∙ 9 = 333, 37∙12 = 444, 37∙15 = 555, 37 ∙ 18 = 666, 37 ∙ 21 = 777, 37 ∙ 24 = 888, 37 ∙ 27 = 999.

Свойство 2. 37 ∙ (3+7) = + ,

Свойство 3. (3² + 7²) – 3 ∙ 7 = 37.

Свойство 4. Возьмем любое трехзначное число, кратное 37. Пусть это будет 185 и сделаем в нем круговую перестановку его цифр (последнюю цифру поставим на первое место, не измени в порядок остальных цифр), т. е. получим 518, сделаем еще круговую перестановку – получим 851. Оба получившихся числа тоже делятся на 37. 518 : 37 = 14, 851 : 37 = 23.

Эти примеры в древней Греции не были известны, так как подобные свойства основаны на нашей десятеричной системе, грекам не знакомой.

Пример 3. Свойство числа 41. Если в любом пятизначном числе, кратном 41, провести всевозможные круговые перестановки цифр, то все получившиеся таким образом числа будут также кратны 41.

Например: 24 026 = 586 ∙ 41. Убедимся, что получившиеся при перестановках числа 62 402, 26 240, 40 262 тоже кратны 41.

62 402:41 = 26 240:41 = 40 262:41 =

Пример 4. А разве неудивительно, что сумма любого количества последовательных натуральных чисел, начиная с единицы, всегда дает точный квадрат.

1 + 3 = 4 + 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² и т. д.

Докажем в общем виде: Очевидно, что нечетные числа составляют последовательность: 1, 3, 5, … Последовательные нечетные числа можно записать в виде (2n + 1). Удвоенная сумма первых членов этой последовательности равна (1 + 2n + 1) + (3 + 2n - 1) + (5 + 2n – 3) + (2n + 1 + 1), т. е. 2n + 1 слагаемых, каждое из которых равно 2n + 2.

Поэтому = = = (n + 1)².

Пример 5. Сумма кубов натурального ряда чисел, начиная с одного, равна квадрату суммы этих чисел.

1³+2³ = 1 + 8 = 9 =(1 + 2)², 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 = (1 + 2 + 3)² и т. д.