Глава 4. Простые числа

Еще в Древней Греции было замечено, что некоторые числа имеют много делителей, а другие меньше.

Пример 1. Число 120 имеет 16 делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

Пример 2. Число 36 имеет 6 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Пример 3. Число пять делится на 1 и на само себя, т. е. имеет два делителя.

Пример 4. Число 1 делится только само на себя – имеет один делитель.

Из чего составлены целые числа? Конечно же, из единиц. Например, число 12 есть сумма двенадцати единиц. В то же время 12 = 2 *6, 3*4 = 12. В свою очередь 4 = 2*2, 6 = 2*3. Числа 2 и 3, так же как и числа 5, 7, 11, 13 дальше не раскладываются, поэтому их назвали простыми. Они имеют лишь два множителя – единицу и себя самого. [5]

Определение: Число называется простым, если оно имеет только два делителя.

Единица не относится ни к простым, ни к составным. Это число как бы исключение из всего множества натуральных чисел. Простыми являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …… 97, 101, 107, ……2503, 2521,….4931, ..5987,…. Если присмотреться к этой последовательности, то сразу бросается в глаза «разбросанность простых чисел». Не видно никакой закономерности в их расположении. Ученые на протяжении сотен лет старались раскрыть закономерность распределения простых чисел, но до сих пор им это не удалось сделать. Было выдвинуть множество гипотез, составлено немало формул, но при внимательном рассмотрении все они оказались ошибочными.

Формулы составляли: Пьер Ферма, Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Б. А. Кордемский и др. [4]

Первый в России составил таблицу простых чисел до 10 000 000 уральский математик – самоучка сельский священник Иван Михайлович Первушин. Он посвятил ей сорок лет жизни. Она состояла из 750 листов.

Если внимательно посмотреть таблицу простых чисел, то можно заметить, что они размещены крайне неравномерно. Сказанное выше подтверждает таблица.

Размещение простых чисел на числовых промежутках

п	10	100	1000	100 000	1 000 000	1 000 000 000
(п)	4	35	168	9 592	78 498	50 847 478
(п),	40	25	17	9,5	8	5

п– количество всех натуральных чисел от 1 до п, (п)- количество простых чисел среди них . [4]

Интересен тот факт, что во множестве натуральных чисел имеется промежуток из миллиарда последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа.

Не поддается решению и проблема так называемых близнецов. Если присмотреться к последовательности простых чисел, то можно заметить среди них пары нечетных чисел – это так называемые близнецы. Такими числами являются, например, 5 и 7, 11 и 1и 3, 17 и 19 и др. В начале последовательности простых чисел близнецы встречаются довольно часто, а потом все реже и реже. Действительно в первой сотне 8 таких пар, между 501 и 600 две пары 521 и 523, 569 и 571. Дальше они встречаются очень неравномерно, но, в общем, все реже и реже. Наибольшей известной парой близнецов в 1974 году являлись числа 10 999 949 и 10 999 951. [4]

Сейчас с помощью компьютера вычислены миллиарды простых чисел, среди которых регулярно встречаются близнецы, но на вопрос о том, есть ли последняя пара близнецов или их число бесконечно, ответ до сих пор неизвестен. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными.