12. Понятие оптимальности по Парето при решении многокритериальных задач

Векторный характер критериев оптимальности создает проблему формирования целевой функции. Сложность ее обуславливается не только количеством критериев, но и характером их поведения. Обычно рост одного критерия ведет к уменьшению другого – это т.н. конфликтные критерии. Если определить оптимальные параметры объекта по каждому из критериев в отдельности, то они окажутся различными => при наличии векторного критерия возможно некоторое компромиссное решение.

Точка С является точкой пересечения двух поверхностей отклика на одном уровне. Линия АСВ соответствует линии оптимального компромисса. Проекция ее на оси Х1 и Х2 дает множество эффективных точек Хэф или точек Парето. В силу однозначной зависимости между управляемыми параметрами и критериями можно перестроить график в других координатах.

Т.о. точками Парето являются точки пространства управляемых параметров, для которых выполняется условие:

где Сj – вес критерия, Fj(x) – критерий, Ф(х) – предельно достижимое значение целевой функции. ΣСj = 1. Метод Парето позволяет сбалансировать противоречия между критериями и получить оптимальное компромиссное решение задачи.

13. Многокритериальные задачи оптимизации в экономике. Формирование целевой функции, стратегии оптимизации.

В многокритериальных задачах критерии векторны. Оценка результатов поиска по изменению множества критериев неоднозначна и противоречива, поэтому непосредственно использовать критерии в алгоритме оптимизации невозможно. Для решения многокритериальной задачи необходимо построить целевую функцию, которая обеспечит обобщенную оценку качества объекта, отображаемую векторным критерием. Процесс построения скалярной функции при многокритериальной оптимизации называется сверткой векторных критериев. Различают следующие виды стратегии:

1 Стратегия частного критерия – в качестве целевой функции принимают один из критериев оптимальности, характеризующий главное его качество. Для остальных критериев используется другая оценка и их используют для назначения ограничений. Формулировка:

где y_k – один из выходных параметров, принятый в качестве частного критерия, n – количество внутренних параметров, m – количество выходных параметров

2 Аддитивная стратегия – разделим все выходные параметры на 3 группы: значение которых нужно увеличить (y_j⁺), уменьшить (y_k^-) или оставить на некотором уровне (y_l = T_l+-Δy). Введем вектор весовых коэффициентов С={С1,С2,…,Сm}, характеризующих значимость выходных параметров и вектор нормирующих коэффициентов Y₀={y₀₁,…,у_0m} и сформируем целевую функцию (ЦФ -> min)

;

Недостаток стратегии в том, что улучшение целевой функции возможно при ухудшении одного из конфликтных критериев и одновременном улучшении других критериев

3 Мультипликативная стратегия - Мультипликативная стратегия может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия типа равенства и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Целевая функция подлежит максимизации:

.

Мультипликативная целевая функция имеет тот же недостаток, что и аддитивная, т.е. улучшение одних критериев оптимальности достигается за счёт ухудшение других, коэффициенты Cj могут применяться в качестве степеней. Целевая функция более чувствительная, чем аддитивная.

4 Максиминная стратегия – нацелена на максимальное удовлетворение требований, предъявляемых к объекту. В ее основе лежит идея равномерности, суть которой состоит в выравнивании всех нормируемых критериев оптимальности. Введем количественные оценки степени выполнения требований:

где Tj – значение требования к соответствующему параметру, - интервал изменения j-го критерия. При таком подходе условия работоспособности должны быть приведены к условию . Значение Sj в этом случае подлежит максимизации, причем в первую очередь те, которые оказываются наименьшими. Целевая функция:

Эту функцию называют функцией минимума, а т.к. требуется ее максимизировать, то стратегию называют максиминной max min Sj(x). Для учета значимости вводят коэффициенты штрафа bj. Максиминная стратегия решения многокритериальных задач лишена недостатков ранее рассмотренных моделей. При ее использовании влияние на целевую функцию оказывает лишь тот критерий, который в данной точке пространства управляемых параметров является наихудшим с позиции выполнения требований к объекту. В результате происходит выравнивание оценок степени выполнения по всем критериям