30. Моменты двумерных случайных величин

Начальным моментом порядка k, s двумерной случайной величины (Х, Y) называется математическое ожидание произведения X^k на Y^s:

α_k,s = M (X^kY^s). (30.1)

Для дискретных случайных величин

, (30.2)

для непрерывных случайных величин

(30.3)

Центральным моментом порядка k, s двумерной случайной величины (Х, Y) называется математическое ожидание произведения (X – M(X))^k на (Y – M(Y))^s:

μ_k,s = M((X – M(X))^k(Y – M(Y))^s). (30.4)

Для дискретных случайных величин

, (30.5)

для непрерывных случайных величин

, (30.6)

При этом М(Х) = α_1,0, M(Y) = α_0,1, D(X) = μ_2,0, D(Y) = μ_0,2.

31. Корреляция случайных величин

Корреляционным моментом системы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент:

K_xy = μ_1,1 = M((X – M(X))(Y – M(Y))). (31.1)

Для дискретных случайных величин

, (31.2)

для непрерывных случайных величин

(31.3)

Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффициент корреляции

. (31.4)

Корреляционный момент независимых случайных величин равен нулю.

Действительно, если X и Y независимы, то f(x,y)=f₁(x)f₂(y), тогда

(31.4)

В то же время понятия коррелированности и зависимости не эквивалентны, а именно, величины могут быть зависимыми, но при этом некоррелированными. Дело в том, что коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. В частности, если Y = aX + b, то r_xy = ±1.

Можно показать, что

31А. Задачи

1. Случайный вектор (x,h) принимает значения (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) и (0,–1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин x и h. Показать, что они зависимы.

2. Случайные приращения цен акций двух компаний за день  и  имеют совместное распределение, заданное таблицей:

 	1	+1
1	0,3	0,2
+1	0,1	0,4

Найти коэффициент корреляции.

31

ТВ и МС (опорный конспект)