12. Локальная теорема Лапласа

Существует ещё один приближенный, но достаточно точный при больших значениях n способ вычисления вероятностей .

Теорема Лапласа. Пусть p - вероятность появления события А в одном испытании, причем 0 < p < 1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли в n испытаниях

событие А наступит ровно k раз, приближенно выражается равенством:

, где (12.1)

Формула (1) дает тем более точный результат, чем больше n.

Функция чётная, поэтому для неё составлены таблицы только при .

Замечание: Рекомендуется применять локальную теорему Лапласа, когда , приближение Пуассона, когда .

13. Интегральная теорема Лапласа

Во многих задачах требуется вычислить вероятность того, что в серии из n испытаний событие А произойдет не менее и не более раз, обозначаемую .

Вычисление этой вероятности с помощью формулы Бернулли при больших n весьма затруднительно.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p (0 < p < 1), то имеет место приближенное равенство

, где (13.1)

Для вычисления вероятности формулу представляют в виде:

, (13.2)

где - функция Лапласа, для которой составлены таблицы значений.

Так как Ф₀(х) функция нечетная, т.е. Ф₀(-х) = -Ф₀(х), то таблицы составлены лишь для х ≥ 0.

Замечание 1. Имеются также таблицы для функции Лапласа . В этом случае значения функции затабулированы как для положительных, так и для отрицательных значений х, а равенство (13.2) остается в силе при замене Ф₀(х) на Ф(х).

Замечание 2. Вероятность того, что событие А наступит не менее k раз в n испытаниях

можно вычислять по формуле (13.1), полагая k1 = k, k2 = n.

13А. Задачи о повторенных испытаниях

1 Вероятность сбоя в работе компьютера в одном сеансе работы равна 0.1. Найти вероятность двух сбоев в шести сеансах работы.

2 Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.4. произведено 5 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не более одного раза.

3 Фирма выпускает изделия, из которых 80% высшего качества. Какова вероятность при отборе 100 изделий обнаружить ровно 18 изделий высшего качества?

4 Хлебокомбинат выпускает 90% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что из 400 изделий хлебокомбината первосортных окажется не менее 380?

5 Что вероятнее выиграть у равносильного соперника (ничьи исключены): три партии из четырех или пять партий из восьми?

6 Рекламное агентство гарантирует, что в некоей лотерее 2% билетов выигрышные.

Вы приобрели 100 лотерейных билетов. Что вероятнее, что четыре билета окажутся выигрышными или выигрышных не будет ни одного.

7 Вероятность появления события в каждом испытании равна 0.25. Найти вероятность того, что в 300 испытаниях событие наступит от 50 до 80 раз.

8 Всхожесть семян новой культуры 85%. На опытном участке посеяли 500 семян. Найти вероятность того, что прорастут от 400 до 450 семян.

9 Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.4. произведено 400 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 190 и не более 215 раз.

10 Типография гарантирует вероятность брака переплета книг 0.0001. Книга издана тиражом 25000 экземпляров. Какова вероятность того, что в этом тираже только одна книга имеет брак переплета?

11 Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.9. произведено 100 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 80 раз.

12 Известно, что в данном селе 80% семей имеют телевизоры. Найти вероятность того, что среди 6 случайно отобранных семей 2 окажутся без телевизора.

13 В квартире 8 электролампочек. Вероятность работы лампочки в течение года равна 0,9. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины лампочек.?

14 При проведении некоторого испытания вероятность появления некоторого результата 0,01. сколько раз его нужно провести, чтобы с вероятностью 0,5 можно было ожидать хотя бы одного появления этого результата?

15 Какова вероятность того, что среди наугад 500 выбранных человек двое родились 8-го марта?

16 Найти такое число k, чтобы с вероятность 0,9, можно было утверждать, что среди 900 новорожденных более k мальчиков. Вероятность рождения мальчика 0,515.