9. Формула полной вероятности и формула Байеса
Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,…, Нп, , называемых гипотезами и образующими полную группу несовместных событий (p(H1) +p(H2) +…+ p(Hn) = 1).
Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна (формула полной вероятности):
(9.1)
где p(Hi)
– вероятность i-
й гипотезы, а
– вероятность события А при
условии реализации этой гипотезы.
Доказательство. Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН1, АН2,…, АНп. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что
что и требовалось доказать.
Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбран-ной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение. Будем считать гипотезами Н1, Н2 и Н3 выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то
Найдем условную вероятность А при
реализации каждой гипотезы:
Тогда
Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только
вместе с одним из событий H1, H2,…Hn, образующих полную группу событий .
Требуется найти вероятность события Hi после испытания, когда событие А имело место, т.е. pA (Hi), i = 1,2,…n. Для нахождения этих вероятностей используют формулу Байеса (формулу вероятности гипотез):
(9.2)
Действительно,
откуда следует справедливость формулы
Байеса.
Замечания.
1) Вероятности PA(H1) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями гипотез Hi, а вероятности P(Hi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез Hi. Эти вероятности различаются.
2) Знаменатель в правой части формулы Байеса совпадает с правой частью формулы полной вероятности и равен P(A).
Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.
Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н1 – первый попал, а второй промахнулся, Н2 – первый промахнулся, а второй попал, Н3 – оба попали, Н4 – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28, р(Н3) = 0,6·0,7 = 0,42, р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12. Тогда PA(H1) = PA(H2)= 1, PA(H3)= PA(H4)= 0. Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:
9А. Задачи на формулу полной вероятности и формулу Байеса
1. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0.06, на втором -0.02. Производительность первого автомата втрое больше, чем второго. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна. б) Взятая с конвейера деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом автомате.
2. Три хлебокомбината города производят продукцию, обеспечивающую город хлебобулочными продуктами в пропорции 2:3:5. Первый хлебокомбинат производит 30% продукции высшего качества, второй - 40%, третий - 60%. Найти вероятность того, что приобретенное хлебобулочное изделие оказалось высшего качества. Приобретенный продукт оказался высшего качества, найти вероятность того, что это изделие изготовлено на втором хлебокомбинате.
3. Сообщение можно передать письмом, по телефону и по факсу с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что сообщение дойдет до получателя в каждой из перечисленных возможностей, соответственно равны 0.7, 0.6 и 0.9. 1) Какова вероятность получения сообщения? 2) Сообщение адресатом получено, какова вероятность, что оно передано по факсу?
4. В группе 25 студентов: 4 отличника, 9 хорошистов, остальные - троечники. Вероятность получения оценки “отлично” на экзамене по математике для первых - 0.95, для вторых - 0.7, для троечников - 0.3. 1) Какова вероятность того, что наудачу взятый студент получил на экзамене пятерку? 2) Студент получил пятерку на экзамене. Найти вероятность, что он хорошист.
5. Из 1000 экземпляров однотипного товара 300 принадлежат первой партии, 500 - второй и 200 - третьей. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованного товара.
1) Определить вероятность того, что наудачу выбранный экземпляр бракованный.
2)Наудачу выбранный экземпляр оказался стандартным, найти вероятность того, что он принадлежит третьей партии.
6. В торговое предприятие поступают однотипные изделия с трех фирм-производителей: 30% с первой, 50% со второй, 20% с третьей. Среди изделий первой фирмы 80% первосортных, второй - 90%, третья фирма изготовляет 70% первосортных изделий.
1) Куплено одно изделие, Найти вероятность того, что оно первосортное. 2) Купленное изделие оказалось не первосортным, найти вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой.
7. В ящике три детали, причем равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей. В этот ящик брошена стандартная деталь, после чего наудачу извлекается одна деталь. Найти вероятность того, что эта деталь стандартна.
8. В урне 7 белых и 3 красных шара. Из урны удаляются два шара, о цвете которых неизвестно. После этого из урны извлекается один шар, найти вероятность того, что этот шар красный.
9. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго - 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. 1) Найти вероятность того, что взята наудачу деталь стандартна. 2) Взятая наудачу деталь оказалась бракованной, найти вероятность того, что она сделана на первом станке.
10. В компьютерном классе 7 IBM типа Pentium и 5 компьютеров других
модификаций. Вероятность сбоя в работе в течение учебного занятия для Pentium равна 0.9, для других компьютеров - 0.7. Студент на занятии работает за произвольно выбранным компьютером. 1) Найти вероятность того, что в течение занятия его компьютер не “зависнет”. 2) На занятии компьютер дал сбой в работе, найти вероятность того, что студент работал на Pentiumе.
11. Найти вероятность того, что к первой наудачу извлеченной кости домино можно
приставить и вторую.