4.1. Аксонометрические проекции

Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построений.

Слово «аксонометрия» в переводе с греческого означает измерение по осям.

Аксонометрический метод может сочетаться и с параллельным, и с центральным проецированием при условии, что предмет проецируется вместе с координатной системой.

Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования (рис.44) заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой.

На рисунке показана точка А, отнесенная к системе прямоугольных координат xyz. Вектор S определяет направление проецирования на плоскость проекций П*.

Рис.44

Аксонометрическую проекцию А1* горизонтальной проекции точки А принято называть вторичной проекцией.

Искажение отрезков осей координат при их проецировании на П' характеризуется так называемым коэффициентом искажения.

Коэффициентом искажения называется отношение длины проекции отрезка оси на картине к его истинной длине.

Так по оси x* коэффициент искажения составляет u=0*x*/0x, а по оси y* и z* соответственно υ=0*y*/0y и ω=0*z*/0z.

В зависимости от отношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции могут быть:

Изометрическими, если коэффициенты искажения по всем трем осям равны между собой; в этом случае u=υ=ω;

Диметрическими, если коэффициенты искажения по двум любым осям равны между собой, а по третьей – отличается от первых двух;

Триметрическими, если все три коэффициента искажения по осям различны.

Аксонометрические проекции различаются также и по тому углу φ, который образуется проецирующим лучом с плоскостью проекций. Если φ≠ 90⁰, то аксонометрическая проекция называется косоугольной, а если φ= 90⁰ – прямоугольной.

Рассмотрев общие сведения об аксонометрических проекциях, можно сделать следующие выводы:

- аксонометрические чертежи обратимы;

- аксонометрическая и вторичная проекции точки вполне определяют её положение в пространстве.

Аксонометрические проекции обратимы, если известна аксонометрия трех главных направлений измерений фигуры и коэффициенты искажения по этим направлениям.

Аксонометрические проекции фигуры являются её проекциями  на плоскости произвольного положения при произвольно выбранном направлении проецирования.

Очевидно возможно и обратное. На плоскости можно выбрать произвольное положение осей с произвольными аксонометрическими масштабами.

В пространстве всегда возможно такое положение натуральной системы прямоугольных координат и такой размер натурального масштаба по осям, параллельной проекцией которых является данная аксонометрическая система.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АКСОНОМЕТРИИ (теорема ПОЛЬКЕ)

Немецкий ученый Карл Польке (1810 -1876) сформулировал основную теорему аксонометрии:

Три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала.

Согласно этой теореме, любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые отрезки произвольной длинны на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.

В практике построения аксонометрических изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и аксонометрических масштабов: прямоугольная изометрия и диметрия, косоугольная фронтальная диметрия, кабинетная проекция и др.

Согласно ГОСТ 2.317-69, из прямоугольных аксонометрических проекций рекомендуется применять прямоугольные изометрию и диметрию.

И ЗОМЕТРИЯ

Рис. 45

Между коэффициентами искажения и углом φ, образованным направлением проецирования и картинной плоскостью, существует следующая зависимость:

u²+υ²+ω²=2+ctq²φ,

е сли φ=90^o, то u²+υ²+ω²=2,

В изометрии u=υ=ω и, следовательно, 3u²=2, откуда u=Ö2/3 ≈ 0,82.

Таким образом, в прямоугольной изометрии размеры предмета по всем трем измерениям сокращаются на 18 %.

ГОСТ рекомендует изометрическую проекцию строить без сокращения по осям координат, что соответствует увеличению изображения против оригинала в 1,22 раза.

ДИМЕТРИЯ

Р ис. 46

При построении прямоугольной диметрической проекции сокращение длин по оси y' принимают вдвое больше, чем по двум другим, т.е. полагают, что u=ω, а υ=0,5u.

Тогда 2u²+(0,5u)²=2, откуда u²=8/9 и u≈0,94, а υ=0,47.

В практических построениях от таких дробных коэффициентов обычно отказываются, вводя масштаб увеличения, определяемый соотношением 1/0,94=1,06, и тогда коэффициенты искажения по осям x' и z' равны единице, а по оси y' вдвое меньше υ=0,5.

Из косоугольных аксонометрических проекций ГОСТом предусмотрено применение фронтальной и горизонтальной изометрии и фронтальной диметрии (последнюю ещё называют кабинетной проекцией).

ОКРУЖНОСТЬ В АКСОНОМЕТРИИ

При параллельном проецировании окружности на какую-нибудь плоскость П* получаем ее изображение в общем случае в виде эллипса

ГОСТ 2.317-69 определяет положение окружностей, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям проекций для прямоугольной изометрической проекции и для прямоугольной диметрии.

а ) б)

Рис. 47. а) без искажения по осям, б) с искажением

Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1,2, 3 равна 1,22, а малая ось -0.71 диаметра окружности.

Если изометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая - 0.58 диаметра окружности.

Если диметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.95, эллипсов 2 и 3 - 0.35 диаметра окружности.

Если диметрическую проекцию выполняют с искажения по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.9, эллипсов 2 и 3 - 0,33 диаметра окружности.

1 -эллипс (большая ось расположена под углом 90⁰ к оси y); 2-эллипс (большая ось расположена под углом 90⁰ к оси z); 3-эллипс (большая ось расположена под углом 90⁰ к оси x).

З

Рис. 48

адача умножения величины линейных размеров на коэффициенты 1,22, 1,06 и т.д. значительно упрощается, если применить вместо арифметических подсчетов графические построения с помощью диаграммы (рис. 48).

Проведя две взаимно перпендикулярные прямые AB и AC, на одной из них, например на AB, от точки A откладывают 100 мм. Затем на AC от той же точки A откладывают 35, 50, 70, 95, 106, 122 мм. Полученные точки соединяют с точкой O. Если от точки O по горизонтали отложить размер l, то взятые по вертикали отрезки Da, Db, ..., Df равны соответственно 0,35 l; 0,5 l; ...; 1,22 l.

На наклонных линиях диаграммы наносят значения коэффициентов, которым эти линии соответствуют.

Использование диаграммы значительно упрощается, если ее выполнить на миллиметровой бумаге.

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 3-x МЕРНЫХ ТЕЛ

Построение проекций многогранников сводится к построению их вершин и ребер.

Для призмы удобнее начинать с построения вершин полностью видимого основания (см. рис.49). Показана шестиугольная призма, высота которой совпадает с осью Z, а верхнее основание расположено в плоскости осей X и Y.

Р ис.49

Изометрическая проекция этого основания строится точно так же, как проекция пятиугольника.

Так как длина всех боковых ребер призмы равна высоте призмы h, то для построения нижнего основания из вершин верхнего основания проведены прямые, параллельные оси Z, и на них отложены отрезки, равные h.

Концы отрезков соединены прямыми линиями.

П остроение аксонометрической проекции пирамиды следует начать с построения основания, а затем из точки O отложить на оси Z высоту пирамиды и полученную вершину пирамиды S соединить с вершинами основания.

Рис.50