4.2. Способы преобразования комплексного чертежа

Во многих случаях трудоемкость решения задачи зависит не столько от сложности ее условия, сколько от положения заданных геометрических фигур относительно плоскостей проекций.

Во всех случаях, когда заданные геометрические фигуры являются проецирующими, решение задачи, как правило, упрощается,

Такое положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций, при котором мы непосредственно по чертежу получаем ответ на поставленный в задаче вопрос, называется наивыгоднейшим.

Например, по рис.51б можно сразу определить расстояние между параллельными прямыми а и б, а по рис.51 а, этого сделать нельзя.

Р ис. 51

Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно преобразовать чертеж так, чтобы заданные геометрические фигуры оказались бы в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:

1) на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур;

2) на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций;

3) на изменении направления проецирования, т. е. на замене ортогонального проецирования косоугольным или центральным на одну из старых плоскостей проекций или на какую-нибудь новую.

СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Сущность способа состоит в том, что одну из заданных плоскостей проекций (П1 или П2) заменяют новой плоскостью П4 (рис. 52). При этом положение второй плоскости проекций и заданных геометрических фигур остается неизменным. Новая плоскость проекций П4 выбирается с таким расчетом, чтобы она занимала частное положение по отношению к рассматриваемой геометрической фигуре и была при этом перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций.

Таким образом, исходная (старая) система плоскостей проекций П2/П1 может быть преобразована в новую систему П2/ П4 при замене плоскости П1 плоскостью П4 П2 или в систему П4/П1 п ри замене плоскости П2 плоскостью П4П1 (рис.52).

Рис.52

Каждая из этих полученных систем может быть преобразована в новую путем замены плоскости проекций, не заменявшейся в предыдущем преобразовании. Таким образом, система П2/ П4 может быть преобразована в систему П5/П4 при замене плоскости П2 плоскостью П5 П4, а система П4/П1 - в систему П4/П5 - при замене плоскости П1 плоскостью П5П4 и т. д.

Такое последовательное преобразование исходной системы плоскостей проекций позволяет получить новую систему, в которой рассматриваемые геометрические фигуры окажутся в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций.

Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П1 (или П2), другая плоскость П2 (или П1) должна оставаться неизменной.

Все свойства геометрических фигур и их изображений, ранее рассмотренные в исходной П2/П1 системе, справедливы и для новой системы плоскостей проекций.

Каждая новая плоскость проекций П4, П5, ... условно называется так же, как та из основных, которую она заменяет.

Так, например, плоскость П4, заменяющая горизонтальную плоскость П1, условно называется также "горизонтальной", хотя она не занимает горизонтального положения в пространстве.

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Задачи, в которых определяется относительное положение или общие элементы геометрических фигур, называются позиционными.

К ним относятся задачи на принадлежность точки и линии поверхности, задачи, выражающие отношения между геометрическими фигурами, задачи на определение общих элементов геометрических фигур.

ПЕРВАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА (ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ)

В зависимости от вида и взаимного расположения линии и поверхности точек их пересечения может быть одна или несколько. Например, прямая линия с алгебраической поверхностью n-го порядка пересекается в n точках. В основу их построения положен способ вспомогательных поверхностей, сущность которого состоит в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, принадлежащих вспомогательной поверхности.

Одна из них является заданной линией, а вторая - линией пересечения вспомогательной и заданной поверхностей. В соответствии с этим построение точек пересечения линии l и поверхности Ф (независимо от их вида) осуществляется по следующей общей схеме (рис. 54):

Рис. 54

1. Через данную линию l проводим вспомогательную поверхность.

2. Определяем линию m пересечения вспомогательной и заданной Ф поверхностей.

3. Отмечаем точку А пересечения линий l и m, которая и является искомой.

В символической записи схема имеет вид: 1) проводим Θ כֿ l; 2) определяем m = Θ∩ Ф; 3) отмечаем А = l ∩ m = l ∩ Ф.

Поскольку линии l и m принадлежат одной и той же вспомогательной поверхности, они могут пересекаться, касаться и не иметь общих точек. В первом случае линия l пересекается с поверхностью Ф, во втором - касается ее, в третьем - не имеет с ней общих точек.

Для конкретной задачи на основании общей схемы составляется алгоритм ее решения. Алгоритмом называется совокупность однозначных последовательных операций, которые необходимо выполнить для решения данной задачи.

Схема преобразуется в алгоритм, если конкретизировать первый пункт, т. е. точно указать вид и положение вспомогательной поверхности, которая выбирается для определения точек пересечения заданных линии и поверхности.

Только после составления алгоритма можно перейти к решению (построению) задачи на комплексном чертеже.

ВТОРАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА (ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ)

Две поверхности пересекаются по линии (совокупности линий), которая одновременно принадлежит каждой из них.

В зависимости от вида и взаимного положения поверхностей линия их пересечения может быть прямой, плоской или пространственной ломаной, плоской или пространственной кривой.

П остроение этой линии (независимо от ее формы) сводится к построению ряда точек, одновременно принадлежащих каждой из пересекающихся поверхностей (рис. 56).

Рис.56

Линия, в определенном порядке соединяющая эти точки, и будет искомой.

Основным способом построения точек, принадлежащих искомой линии пересечения, является способ вспомогательных поверхностей.

Сущность его заключается в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, одна из которых является линией пересечения вспомогательной поверхности с одной из заданных, а вторая - линией пересечения той же вспомогательной поверхности с другой из заданных поверхностей.

В соответствии с этим построение произвольных точек 1 и 2, принадлежащих линии l пересечения поверхностей Ф и (независимо от их вида), осуществляется по следующей общей схеме (рис. 57):

Р ис. 57

1. Проводится вспомогательная поверхность Σ, пересекающая заданные поверхности Ф и Ψ.

2. 2. Определяются линии m и n пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных.

3. 3. Отмечаются точки 1 и 2 пересечения построенных линий m и n, которые и являются искомыми, так как одновременно принадлежат данным поверхностям Ф и Ψ, следовательно, линии l их пересечения.

В символической записи схема имеет вид: 1) Σ∩ФÙΨ ; 2) m = Σ∩ФÙ n = Σ∩Ψ; 3) 1 = m ∩ n Ù 2 = m ∩ n.

Выбор вида и положения вспомогательных поверхностей определяется в основном тремя соображениями:

1. Необходимо определить положение целого ряда опорных точек линии пересечения.

2. Любая из проведенных вспомогательных поверхностей должна пересекать каждую из заданных по таким линиям, проекций которых были бы, как правило, графически простыми линиями, т. е. прямыми или окружностями.

3. Все вспомогательные поверхности должны пересекать заданные в пределах зоны возможного расположения линии пересечения, чтобы избежать лишних построений.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Метрическими называются задачи, связанные с измерением расстояний и углов.

В них определяются действительные величины и форма геометрических фигур, расстояния между ними и другие характеристики по их метрически искаженным проекциям.

Решение метрических задач основано на том, что геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру (см. аксиомы параллельного проецирования).

Поэтому при решении метрических задач широко используются способы преобразования комплексного чертежа, а также теоретические положения, изложенные в теме "Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости".

В данной главе рассматриваются три группы метрических задач. К первой относятся задачи, в которых требуется найти расстояние между двумя геометрическими фигурами; ко второй - задачи на определение действительных величин плоских фигур и углов; к третьей группе принадлежат задачи, связанные с построением в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам.

О пределение расстояния от точки М до прямой 1 общего положения (рис 58).

Рис.58

Искомое расстояние измеряется длиной отрезка /МN/ перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую l.

Отрезок [МN] проецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, перпендикулярную прямой l.

Алгоритм решения: 1. Преобразовать прямую l в проецирующую прямую способом замены плоскостей проекций. 2. Построить проекцию отрезка [МN] на плоскость П5^ l, длина которого определяет искомое расстояние.

Построение. Для преобразования прямой l общего положения в проецирующую выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале прямая l преобразована в линию уровня, затем линия уровня преобразована в проецирующую прямую. Построены проекций М4 и М5 точки М в системе П4/П5. Отрезок [М5N5] является искомым: [М5N5]@ [МN] и /М5N5/ = /МN/.

О пределение действительной величины плоской фигуры (рис.59).

Рис. 59