Точные методы

Точные – это методы, которые определяют решение при помощи конечного числа арифметических операций.

При этом, если исходные данные и вычисления точны, то получается точное решение (методы Крамера, Гаусса, прогонки, обратной матрицы).

Точные методы выполняются в два этапа:

• преобразование исходной СЛАУ к более простому виду;

• решение упрощенной системы и получение неизвестных.

Метод Гаусса (последовательного приближения неизвестных)

_{Заданная СЛАУ, состоящая из n уравнений с n неизвестными, представлена в матричной форме (4.2)}

,

где А = ; x = ; b =

1. Прямой ход: приведение исходной квадратной матрицы коэффициентов А к треугольному виду

2. Обратный ход: определение неизвестных, начиная с x_n, x_n-1, x_n-2, ... , x₂, x₁.

Метод прогонки (модификация метода Гаусса для слау

с 3-х диагональной матрицей коэффициентов)

_{Заданная СЛАУ, состоящая из n уравнений с n неизвестными, имеет ленточную «трехдиагональную» матрицу коэффициентов}

, ^{i = 1, 2, ..., n , (4.3)}

Каждое i – уравнение содержит не более 3 неизвестных x_i-1, x_i, x_i+1.

; ^(4.4)

Последовательные исключения выполняются так:

Из 1-го уравнения выражают и подставляют во 2-е ^{уравнение} .

Затем выражают x₂ через x₃ и подставляют в 3-е уравнение и т.д.

Считается, что соотношение между x_i и x_i+1 известно

, (4.5)

тогда (4.6)

Подстановка (4.6) в i – уравнение и решение его относительно x_i приводит к выражению

(4.7)

Сравнив (4.7) и (4.5), можно получить прогоночные коэффициенты

, (4.8)

При i = 1 получено

, (4.9)

С помощью (4.5) определяется x_n , затем

,

и сравнивается с последним уравнением системы (4.3).

Выразив x_n из последнего уравнения, можно получить выражение

(4.10)

Этапы метода прогонки

1. Прямой ход: каждое i – неизвестное выражается через i + 1– е с помощью прогоночных коэффициентов (4.8) и (4.9) (i = 1, 2, ..., n-1)

2. Обратный ход: определяется значение последнего неизвестного по формуле (4.10).

Далее, используя (4.5) и формулы прогоночных коэффициентов (4.8) и (4.9), находят остальные неизвестные x_n-1, x_n-2, ..., x₁, x₀.

Приближенные (итерационные) методы решения слау

Предварительно задаются некоторыми приближенными значениями неизвестных , ..., . Из этих значений тем или иным способом получают новые ’’улучшенные’’ приближенные значения , ..., . С новыми значениями поступают также.

При выполнении определенных условий после бесконечного числа шагов можно получить точное решение.

На практике вычисления прерывают при достижении заданной точности ε. Для этого на каждой итерации с заданной точностью сравнивают два последовательных приближения.

Если выполняются условия

, , ... , ,

то полученные на k - итерации значения , ..., считаются решением СЛАУ.

Итерационные методы особенно эффективны при большом порядке СЛАУ.

Предварительно систему (4.1) необходимо привести к виду

, где ,

, (5.1)

........................

,

И сходя из начального приближения , получают векторы ,..., по рекурентной формуле . (5.2)

З десь F_k – некоторая функция, зависящая от матрицы коэффициентов А системы (4.2), правой части , номера приближения k и предыдущих приближений .

Метод имеет 1-й порядок, если F_k не зависит от , а зависит только от .

Метод стационарный, если F_k не зависит от k.

Простейший случай: если F_k - линейная функция, то общий линейный метод 1 – го порядка должен иметь вид

(5.3)

Здесь А – квадратная матрица, - вектор.