Численное интегрирование
Г
еометрическое
истолкование определенного интеграла:
интеграл численно равен площади,
покрываемой ординатами графика f(x),
т.е. площади криволинейной трапеции,
ограниченной осью абсцисс, отрезками
прямой x
= a,
x
= b
и графиком подынтегральной функции.
, где F – первообразная.
Если первообразную найти сложно или невозможно, а также, если f(x) задана таблично или графиком, применяется численное интегрирование.
Формула трапеций
П
ромежуток
интегрирования [a,
b]
делится
точками x1,
x2,
...,
xn-1
на
n
равных
частей; длина каждой
(3.1)
Т.е. координаты узловых точек промежутков
x0 = a ,
xi = a + i h, i = 1, 2, ..., n - 1 , (3.2)
xn = b
Соответственно, значения подынтегральной функции в этих точках
y 0 = f(x0),
y i = f(xi), ... , i = 1, 2, ..., n - 1 , (3.3)
y n = f(xn).
Полученную систему криволинейных трапеций заменяют прямолинейными трапециями, площадь каждой вычисляется по формуле
В результате сложения получено
(3.4)
Предельная
абсолютная погрешность
(3.5)
Формула Симпсона (параболических трапеций)
Ф
ормула
площади параболической трапеции,
ограниченной дугой квадратичной параболы
(соединяющей три соседние точки), отрезком
прямой оси абсцисс [a,
b]
и отрезками прямых х
= a и х
= b
.
,
где
П
ромежуток
интегрирования [a,
b]
делится точками x1,
x2,
...,
x2n-1
на 2n
равных
частей; длина каждой
(3.6)
Т.е. координаты узловых точек промежутков
x0 = a ,
xi = a + i h, i = 1, 2, ..., 2n - 1, (3.7)
x2n = b
Соответственно, значения подынтегральной функции в этих точках
y 0 = f (x0),
y i = f (xi), ... , i = 1, 2, ..., 2n - 1 , (3.8)
y 2n = f (x2n).
Полученную систему криволинейных трапеций заменяют параболическими трапециями, площади которых суммируют
,
(3.9)
где
с
=
.
Формула (3.9) дает точные результаты для полиномов не выше 3-ей степени.
Предельная
абсолютная погрешность
(3.10)
Рекомендации по выполнению задания № 2
Нахождение численного значения определенного интеграла
В соответствии с номером варианта N выбирается интеграл, метод решения и число n.
Промежуток интегрирования разбивается на n или 2n равных промежутков по формулам (3.1) или (3.6) в зависимости от метода.
Определяются координаты узловых точек промежутков по формулам (3.2) или (3.7) и значения подынтегральной функции в этих точках по формулам (3.3) или (3.8).
Численное значение определенного интеграла вычисляется по формулам (3.4) или (3.9).
График подынтегральной функции строится на основании данных xi и y i.
Пример: найти численное значение определенного интеграла методами трапеций и Симпсона
Промежуток интегрирования [0, π/2] разбивается на равные промежутки, длина каждого
для
метода трапеций (n
=
12)
или
для метода Симпсона
(n
=
6).
Координаты узловых точек промежутков
x0 = 0 ,
x1 = 0 + 0,1309=0,1309
x2 = 0 + 2∙0,1308=0,2616
. . .
х12 = 0 + 12∙0,1308=1,5708
Значения подынтегральной функции в этих точках
y0 = π + sin(x02 )= π + sin(02 )=3.1416
y1 = π + sin(x12 )= π + sin(0,26162 )=3,1587
. . .
y12 = π + sin(x122 )= π + sin(1,57082 )=3.7659
Численное значение интеграла
- по формуле трапеций
кв.ед.
- по формуле Симпсона
кв.ед.