Аналогові та цифрові сигнали.

Математично сигнали описуються функціями часу, тип яких залежить від типу сигналу. До основних типів відносять аналоговий, дискретний і цифровий.

Аналоговим називають сигнал, неперервний у часі і значеннях. Такий сигнал описується неперервною або кусоково-неперервною функцією f(t) при цьому і аргумент і функція можуть приймати довільні значення. ;

Приклад :

- гармонійне коливання;

- експонента.

Дискретний – сигнал, дискретизований у часі і неперервний у значенні. Такий сигнал описується решітчастою функцією – послідовністю , яка визначена тільки в конкретні значення аргументу і може приймати довільні значення.

Цифровий сигнал –це дискретизований сигнал, який набуває значень зі скінченої кількості рівнів квантування. Такий сигнал описується квантованою решітчастою функцією – квантованою послідовністю , відліки якої в кожен момент часу набувають значення з дискретних рівнів квантування.

Цифрові сигнали формуються з аналогових в два етапи. Перший з них – дискретизація, другий – квантування.

Дискретизація

Дискретизація – це послідовне вимірювання амплітудних значень сигналу через певні інтервали часу t. (при цьому отримуються послідовні відліки ). Існують методи ЦОС для нерівномірної дискретизації даних, однак області їхнього застосування досить специфічні й обмежені тому надалі мова піде про рівномірну дискретизацію, при якій інтервал часу t не міняється. Умови, за яких можливе повне відновлення аналогового сигналу за його дискретним представленням зі збереження всієї вхідної інформації, що містилася в сигналі, виражаються теоремами Котельникова, Найквіста, Уіттекера, Шеннона, сутність яких практично однакова.

Для того, щоб перейти розгляду теореми дискретизації, слід пояснити такі поняття: частота;частотний спектр; ширина частотної смуги; частотний діапазон.

Часова область. Часова область зручна при зображенні змін сигналу в часі. Ми всі знаємо, що таке синусоїди. Кожна синусоїда характеризується трьома параметрами: амплітудою, початковою фазою й частотою. Одна синусоїда має одну частоту. Частота - це параметр, що показує як часто сигнал повторює сам себе. Зворотним до частоти є період. Він відповідає тривалості, що займає в часі один повтор сигналу. На графіках показані дві синусоїди з різними частотами й, отже, різними періодами.

Синусоїда описується формулою , де - кругова частота(вимірюється в радіанах на секунду). Формула зв’язку між круговою частотою і лінійною(вимірюється в Герцах): . (якщо вимірювати кругову частоту в градусах на секунду, то ).

Частотна область Частотна область зручна при зображенні частотного складу сигналів. Кожна синусоїда, представлена на графіку, має одну частоту. Отже, у частотній області кожна синусоїда представляється тільки однією частотною складовою. Її амплітуда (на графіку - пряма зі стрілкою нагору) у частотній області пропорційна амплітуді синусоїди в часовій області. Частота f1 відповідає частоті першої синусоїди, а f2 - другої. Чим вища частота синусоїди, тим далі по осі частот вона розташовується. (Словосполучення «частотна складова» для стислості заміняють просто на «частоту», якщо зрозуміло, що мова йде про складову частотного спектра, а не про поняття частоти як такої).

Реальні сигнали являють собою комбінацію з безлічі синусоїд з різними частотами, амплітудами й початковими фазами. Виходить, у частотній області реальний сигнал містить безліч частотних складових.

Спектр (частотний) сигналу відображає його точний частотний склад. Ми будемо часто використати цей термін у лекціях. Він допоможе нам зрозуміти, з яких частотних складових (частот) утворений конкретний сигнал. У розглянутому прикладі сигнал має велику постійну складову (тобто складову з нульовою частотою). Така інформація необхідна для правильної обробки сигналу. Частотний спектр сигналів можна обчислювати й оцінювати

Але ніщо безмежне не можна охопити. Тому виникає необхідність обмежувати спектр реальних сигналів. Можливість такого обмеження обумовлена особливостями частотного розподілу енергії сигналу: основна частина його енергій зосереджена в області f ≤ f_г . Тобто амплітуди спектральних складових, починаючи з певної частоти f > f_г суттєво зменшуються. Вибір f_г визначається конкретним типом сигналу та задачею, що вирішується. Так, у гладких функціях спектр спадає стрімко, а у функцій з різкими перепадами («рвані» функції) спектр спадає повільно, оскільки для представлення розривів та зламів функції потрібні синусоїди з високими частотами. При обробці аудіо та відеосигналів вибір f_г залежить від особливостей сприйняття цих сигналів. Наприклад, для стандартного телефонного сигналу верхня частота становить 3,4 кГц, а мінімальна стандартна частота дискретизації 8кГц.

Частотний діапазон, або смуга частот це - проміжок між мінімальною та максимальною частотою, присутніми в сигналі.

Ширина смуги сигналу - це різниця між його найвищою й найнижчою частотами, при яких амплітуди перевищують задане значення. У цьому випадку це 2f_г . Знати ширину смуги сигналу дуже корисно. З її допомогою визначають тип підсилювача, який варто використати для посилення сигналу. Наприклад, не можна використати звуковий підсилювач для сигналу із шириною смуги 50кГц, просто тому, що звуковий підсилювач не підсилює частоти, які ми не можемо чути.

У дійсності, поняття від’ємної частоти чисто абстрактне, синусоїд з від’ємними частотами не існує. Однак воно зручне для математичного опису сигналів. Тому на графіку зображений сигнал у діапазоні - f_г до f_г .

Підкреслимо різницю між шириною смуги й частотним спектром. Ширина смуги сигналу дає нам інформацію про розмах (ширину) частотного діапазону сигналу. Спектр сигналу відображає його точний частотний склад. Можна мати два сигнали з однаковою шириною смуги 10 кГц, але один, розташований у діапазоні від 5 кГц до 15 кГц, а іншої - у діапазоні від 500 кГц до 510 кГц. Таким чином, ширина смуги не дає інформації про значення частот, що містяться в сигналі. Спектр сигналу дозволяє їх побачити. Таким чином, два сигнали з однаковою шириною смуги можуть мати два зовсім різних спектри.