Теорема Котельникова.

Якщо сигнал обмежений смугою , то він може бути відтворений з як завгодно великою точністю за відліками, що взяті з частотою дискретизації .:

або:

Іншими словами : Якщо сигнал має спектр, обмежений частотою f_г то після дискретизації сигналу з частотою не менше 2f_г можна відновити вхідний неперервний сигнал за отриманим цифровим абсолютно точно. Для цього слід інтерполювати дискретний сигнал між відліками функціями спеціального виду, які ще називають базисом Котельникова.

.

Якщо умова теореми Котельникова порушується, у дискретному сигналі виникає ефект маскування (підміни) дійсних частот "гаданими" більше низькими частотами. Цей ефект також називають накладанням спектрів, або елайсингом (aliasing).

Наочним прикладом цього ефекту може служити ілюзія, досить часта в кіно – обертове колесо автомобіля раптом починає обертатися в протилежну сторону, якщо між послідовними кадрами (аналог частоти дискретизації) колесо робить більш ніж пів-оберту. При цьому в цифровому сигналі замість фактичної реєструється "гадана" частота, а, отже, відновлення фактичної частоти при відновленні аналогового сигналу стає неможливим.

При накладанні спектрів, відновлений сигнал буде виглядати так, ніби частоти, що знаходяться вище половини частоти дискретизації, віддзеркалилися від половини частоти дискретизації, перейшли в нижню частину спектру і наклалися на його нижні складові(частоти).

Припустимо, що при спробі оцифрувати музику, спектр якої обмежений частотою 20кГц, певний пристрій, скажімо дисплей, згенерував сильну заваду з ультразвуковою частотою 39кГц, яка проникла в аналоговий звуковий сигнал. Оцифровка відбувається з частотою 44.1 кГц. При цьому вважається, що звук, який лежить нижче частоти 44.1/2=22.05 кГц буде записаний вірно. Але, оскільки завада лежить вище частоти 22.05 кГц, то виникає аліасінг і завада відіб’ється в нижню частину спектру на частоту близько 5 кГц. Тепер, при спробі відтворення звуку, на частоті 5 кГц на фоні музики буде чути заваду. Таким чином, завада перемістилася з нечутної ультразвукової області в чутну.

Для того, щоб уникнути накладання спектрів можна використовувати більш високу частоту дискретизації. Однак вибір надто малого приводить для надлишковості обчислень.

На практиці, як вже згадувалося, перед оцифровкою сигналів здійснюється обмеження їх спектру за допомогою фільтру нижніх частот (НЧ- фільтри). Ці фільтри видаляють з сигналу всі частоти, що лежать вище заданої, яка ще називається частотою зрізу фільтра. Для анти-елайсингових фільтрів частота зрізу встановлюється рівною половині частоти дискретизації.

Фізично, перетворення сигналу в цифрову форму здійснюється аналого-цифровими перетворювачами (АЦП) а в них, як правило, завжди вбудовується анти-елайсинговий фільтр.

Згідно теореми Котельникова, верхня(гранична) частота f_г аналогового сигналу не повинна перевищувати половину частоти дискретизації f_д цього сигналу. З цього випливає, що дискретні сигнали є сенс розглядати в області [0; f_д/2], яка називається основною смугою частот, або основним діапазоном частот. Частота - частота Найквіста.