Скалярное произведение двух векторов. Свойства, вычисление и применение.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется величина , где - угол между векторами. Если хотя бы один из векторов равен 0, то и скалярное произведение равно 0. Обозначение: или

Свойства:

1. Выражение длины вектора

2. Симметрия

3. Выражение через величину ортогональной проекции

4. Аддитивность по первому аргументу

5. Однородность по первому аргументу

6. Ортогональность Если 1) 2) Если 1) если то 2) то по определению

7. Следствия:

1. Линейность по первому аргументу.

2. Обобщенная линейность по первому аргументу

3. Аддитивность по второму аргументу

4. Однородность по второму аргументу

5. Линейность по второму аргументу

6. Обобщённая линейность по первому аргументу

7. Билинейность

8. Неотрицательность и равенство 0

   1. 

   2. 

Вычисление скалярного произведения.

Вычисление:

• если известны длины ненулевых векторов и , и угол между ними, то вычисляем по определению

• если известны разложения , известны и углы между ними, тогда вычисляем, пользуясь билинейностью

• если –ортонормированный базис, то

Применение:

• вычисление длины вектора

• нахождение косинуса угла между векторами

Векторное произведение.

Определение: тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если их отложить от точки О, , и кротчайший поворот от к виден из точки С против (по) часовой стрелки.

Определение: векторным произведением двух некомпланарных векторов и называется вектор , для которого выполнены следующие свойства:

1. 

2. 

3. Образуют правую тройку

Определение: если векторы коллинеарные

Свойства:

• Критерий коллинеарности

Для по определению Если , предположим противное

– противоречие

• А нтисимметрия

• Аддитивность по первому аргументу

• Однородность по первому аргументу

Следствия:

• Линейность по первому аргументу

• Обобщенная линейность по первому аргументу

• Аддитивность по второму аргументу

• Однородность по второму аргументу

• Линейность по второму аргументу

• Обобщенная линейность по второму аргументу

Вычисление: если известно разложение векторов разложения , известны и углы между ними, тогда вычисляем, пользуясь билинейностью

При получим

Для ортонормированного базиса

Смешанное произведение.

Определение: смешанным произведением трёх векторов называется скалярное произведение векторов .

Свойства:

1)Критерий компланарности трёх векторов.

– компланарные

Доказательство: 1) пусть – компланарные :

1. Если один или несколько равны если если

2. Если есть пара коллинеарных если если

2)

1) не менее, чем один из векторов все компланарные

2) нет нулевого, но есть коллинеарные все компланарные

3) нет коллинеарных из условия ,

тогда

2.1)Геометрический смысл смешанного произведения: для любых некомпланарных объём параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к общему началу.

«+» - векторы образуют правую тройку; «-» - левую тройку

Доказательство: ; если – образуют левую тройку, то - правая, параллелепипеды на и равны. По доказанному возьмём из однородности скалярного произведения

2.2)Объём параллелепипеда равен модулю смешанного произведение: для любых некомпланарных

Доказательство: если берем оба равенства по модулю, то всегда получаем объем параллелепипеда.

3)Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановки векторов.

Доказательство: 1) если – компланарные, то

2) если – некомпланарные и - правая тройка, тогда и - правые, по доказанному

3)

4)Смешанное произведение аддитивно и однородно по каждому аргументу при фиксированных остальных

5)Условие 4 эквивалентно следующим:

6)Обобщённая линейность по k-тому аргументу

7)Полилинейность

Вычисление:

1)по определению

2)по геометрическому смыслу

3)если векторы заданы разложением в базисе: ; используем полилинейность:

(27 слогаемых)

Если есть хотя бы пара индексов то есть пара коллинеарных векторов, а значит эта тройка компланарных векторов, их смешанное произведение равно 0. Если - это перестановки , тогда слагаемое суммы не обращается в 0. Всего 3!=6 перестановок.

4)Если - правый (левый) ортонормированный базис:

Применение

1)Проверка компланарности (если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарные, иначе не компланарные)

2)Нахождение объемов: параллелепипед - , треугольная призма - , пирамида -