2) Пусть s – алгебраическая поверхность порядка , тогда в любой аск s определяется уравнением где - многочлен , т.Е. Сохраняется алгебраический тип и порядок поверхности.
Доказательство: 1) пусть L задаётся уравнением
Многочлен
можно записать
есть линейная
комбинация одночленов
есть линейная
комбинация одночленов
Получим линейную комбинацию одночленов вида
Главное
условие
.
Доказали, что степень алгебраической линии не возрастает.
Покажем, что степень не меньше .
Из
системы
(матрица не имеет определитель равный
нулю, т.к. в этом случае его координаты
зависимы)
Пусть
степень этого многочлена
.
Совершаем обратную замену.
Алгебраические линии первого порядка на плоскости - прямые.
В нашем случае
.
При
при
Теорема
1: каждая прямая на плоскости в произвольной
АСК имеет уравнение вида
где
.
Доказательство: сначала выберем специальную АСК, чтобы прямая стала одной из осей, далее перейдём в другую АСК, степень уравнения сохранится при этом, получим новое уравнение 1й степени.
Выберем
новую
,
- базис.
Возьмём
произвольную точку
на плоскости.
уравнение всех
точек на прямой
в этой АСК.
В
любой другой АСК уравнение будет не
таким, но сохранит первую степень и
будет иметь вид
,
т.е. уравнение
первого порядка.
Теорема 2: уравнение вида в произвольной АСК определяет прямую, где .
Доказательство:
мы знаем, что множество
определяется уравнением
в АСК
.
Ведем
новую АСК следующим образом:
Выразим
и
через
и
.
,
где
- новое начало,
-матрица
перехода
Опишем в старых координатах.
так
как
,
в результате
в новой АСК
Построим
,
проходящую через
и параллельно
.
Докажем,
что
.
Если
,
то
если
,
то
,
получается, что
,
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Полное и неполное уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в отрезках.
Теорема1:
пусть есть две прямые, которые определяются
уравнениями
,
тогда:
Доказательство:
1.1
Тогда
2.1
Тогда
3.1 Найдём общую точку:
Система
имеет единственное решение, значит
в одной точке.
1.2
Предположим противное: если 1.1 не
выполнено, то выполнено 2.1 или 3.1, тогда
или
– противоречие.
2.2
Предположим противное: если 2.1 не
выполнено, то выполнено 1.1 или 3.1, тогда
или
– противоречие.
3.2 Предположим противное: если 3.1 не выполнено, то выполнено 1.1 или 2.1, тогда или – противоречие.
Определение:
уравнение прямой
называется неполным, если один из
коэффициентов
равен 0; уравнение прямой
называется полным, если все 3 коэффициента
отличны от 0.
1)
,
тогда
2)
,
тогда
(совпадает)
3)
,
тогда
4)
,
тогда
5)
,
тогда
проходит через (0;0)
6)
Полное уравнение:
- уравнение прямой в отрезках.
При
,
то есть
При
,
то есть
