Изменение координат точки при переходе из одной аффинной системы координат (аск) в другую аск:

• Изменение начала (параллельный перенос)

• Изменение базиса

• Изменение начала и базиса

1)Изменение начала – в пространстве.

Пусть - старая АСК, - новая АСК.

П усть

– в старой АСК

– в новой АСК

1)Изменение базиса – в пространстве.

Пусть - старая АСК, - новая АСК.

раскладываем по старой системе, потом по новой и выводим связь

Матрица - матрица перехода от старого базиса к новому

- в старой АСК

- в новой АСК

Подставим в формулу координаты векторов.

3)Изменение начала и базиса

Пусть - старая АСК, - вспомогательная АСК, - новая АСК.

- в старой АСК, - в старой АСК, –во вспомогательной АСК, – в новой АСК.

Переход из вспомогательной в новую АСК.

Переход из старой в новую АСК.

Изменение координат точки при переходе из одной декартовой прямоугольной системы координат (дпск) в другую дпск:

Теорема 1: любую ДПСК на плоскости можно преобразовать в другую ДПСК не более, чем за 3 преобразования:

• Параллельный перенос

• Поворот вокруг начала на угол

• Отражение относительно оси

Д оказательство: 1) - правые системы координат

1.1)Сделаем первое преобразование

1.2)Сделаем второе преобразование: вокруг поворот на угол

2) – правая, - левая

2.1) Если выполним параллельный перенос

2.2) Вокруг поворот на угол , в результате

2.3) Отражение относительно прямой, содержащей в результате

Теорема 2: любую ДПСК в пространстве можно преобразовать в другую ДПСК не более, чем за 5 преобразований:

• Параллельный перенос

• 3 поворота вокруг некоторой прямой

• Отражение относительно плоскости

Доказательство: выполним параллельный перенос, если начала систем не совпадают.

П усть обе системы ; правые. Если и и и в одной плоскости, то одним поворотом их совмещаем.

Угол - угол между векторами и

Е сли и пересекаются, - линия пересечения; повернем относительно , на угол и теперь , выполняем поворот относительно до совпадения , поворот вокруг до совпадения

Полярная система координат на плоскости.

Полярная система координат определяется точкой, полярный центр, и лучом, полярная ось. Полярные координаты любой точки P на плоскости это 2 числа:

С вязь полярных и декартовых прямоугольных координат.

в ДПСК, в полярных координатах

Цилиндрическая система координат в пространстве.

Ц илиндрическая система координат определяется: плоскость П, ОА полярная ось, OZ ось, перпендикулярная плоскости.

Цилиндрические координаты точки Р:

На плоскости

Связь с ДПК: О – общее начало координат

- ДПК, – цилиндрические

Сферическая система координат.

Уравнение множества на плоскости и в пространстве.

Определение: пусть П - плоскость, и на плоскости П есть некоторое множество; будем говорить, что множество М задаётся уравнением , где , если

Определение: пусть V пространство точек, . Множество определяется уравнением , если

Теорема 1: пусть множества и задаются уравнениями , , тогда задается уравнением

Доказательство:

Теорема 2: пусть множества и задаются уравнениями , , тогда задается уравнением

Доказательство:

Многочлен от m переменных степени N.

Определение: одночленом от переменных степени называется следующее выражение: , где .

Определение: многочленом от переменных степени называется линейная комбинация одночленов , причём по крайней мере один из одночленов имеет степень .

Нулевой многочлен по определению имеет степень .

Определение: однородным многочленом от переменных степени называется линейная комбинация одночленов степени .

Алгебраические линии на плоскости и алгебраические поверхности в пространстве.

Определение: пусть линия L в некоторой АСК задаётся уравнением , где - координаты точки в АСК, которая лежит на L, тогда L называется алгебраической порядка , если - многочлен степени .

L называется неалгебраической (трансцендентной), если АСК: L задаётся уравнением где - многочлен.

Определение: пусть поверхность S в некоторой АСК задаётся формулой , где - координаты точки в АСК, которая принадлежит S, тогда поверхность S называют алгебраической поверхностью порядка , если - многочлен степени .

S называется неалгебраической (трансцендентной), если АСК: S задаётся уравнением где многочлен.

Теорема: 1) Пусть L – алгебраическая линия порядка , тогда в любой АСК L определяется уравнением где - многочлен , т.е. сохраняется алгебраический тип и порядок линии.