1.6. Предельный переход в неравенствах.

Теорема 6. Если все элементы сходящейся последовательности , , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству ( ), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству ( ).

► Доказываем методом от противного. Предположим, что выполняется неравенство .

По определению предела

.

Положим . Тогда . После несложных преобразований получим . Из правой части этого неравенства имеем . Это противоречит условию, что . Значит, справедливо неравенство .

Аналогично доказывается случай . ◄

Теорема 7 (о промежуточной переменной). Пусть последовательности , , таковы, что:

1) выполняется неравенство ,

2) , .

Тогда последовательность сходится и .

► По определению предела имеем

.

Из последнего неравенства .

Аналогично

.

Отсюда .

Возьмем . Тогда для всех выполняются неравенства одновременно

.

Отсюда или . Это означает, что .◄

1.7. Предел последовательности комплексных чисел.

Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел , ....

Комплексное число , , называется пределом числовой последовательности , если для любого существует номер такой, что для всякого справедливо неравенство .

Обозначается: .

Комплексное число называется пределом числовой последовательности , если найдется такой номер , что для любого выполняется неравенство .

Обозначается: .

Существование конечного предела последовательности комплексных чисел = , где , равносильно существованию как двух пределов вещественных последовательностей и , а при специальной оговорке относительно главных значений аргументов , так и пределов последовательностей и .

Теорема 1. Для того чтобы существовал конечный предел последовательности , ,

,

необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы последовательностей и

, .

►Необходимость. Пусть существует конечный предел . По определению предела

: .

Модуль комплексного числа равен

.

Поэтому

при .

Отсюда следуют неравенства

, при .

Это означает, что существуют пределы

, .

Достаточность. Пусть существуют пределы

, .

По определению предела

: ,

: .

Возьмем . Тогда выполняется неравенство

.

Отсюда следует, что существует предел .◄

Теорема 2. Для того чтобы существовал конечный предел , , последовательности , = , необходимо и достаточно, чтобы существовал предел , а при надлежащем выборе области главных значений аргументов и предел .

Теорема 3 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность комплексных чисел была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер такой, что для всякого и справедливо неравенство .

Все действия с пределами последовательностей комплексных чисел аналогичны действиям с последовательностями действительных чисел.

Вопрос 2 Дифференцируемость функции одной и нескольких переменных в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости в точке функции одной и нескольких переменных. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.