Вопрос 3 Определённый интеграл функции на отрезке. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

3.1. Определение определенного интеграла Римана.

Пусть функция определена и ограничена на отрезке , . И пусть – разбиение отрезка на частичных отрезков , , точками .:

.

Тогда – длина частичного отрезка , . На каждом таком отрезке произвольным образом выберем точку и составим сумму

.

Определение 2. Сумма

(1)

называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке соответствующей данному разбиению отрезка и выбору промежуточных точек , .

Пусть – длина наибольшего частичного отрезка разбиения , , называемая диаметром разбиения.

Определение 3. Функция называется интегрируемой на отрезке (или интегрируемой по Риману), если существует такое число , что для любой последовательности разбиений отрезка на частичные отрезки , , диаметр которых стремится к нулю при и при любом выборе точек , , существует предел интегральных сумм (1) и он равен :

(2)

Число называется определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке .

Обозначается: , т.е. .

При этом называется подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией, – переменной интегрирования, и – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Класс всех функций , интегрируемых по Риману на отрезке , обозначается .

Определение интеграла Римана на языке - формулируется следующим образом.

Определение 4. Число называется определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке , если для любого существует такое , что каково бы ни было разбиение отрезка на частичные отрезки , , диаметр которого , и каковы бы ни были точки , , выполняется неравенство

.

3.2. Необходимое условие интегрируемости функций.

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости). Если существует, то функция ограничена на .

► Действительно, если функция неограничена на , то для любого разбиения отрезка на частичные отрезки , , …, найдется хотя бы один частичный отрезок , на котором функция неограниченна. В силу неограниченности функции на отрезке можно выбрать на нем точку так, чтобы абсолютная величина произведения была больше наперед заданного числа. Таким образом, при любом разбиении отрезка на частичные отрезки интегральная сумма

будет бесконечно большой по абсолютной величине. Следовательно, не существует конечного предела интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю, что противоречит условию теоремы. ◄

3.3. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует интеграл .

►Ограниченность на отрезке следует из теоремы Вейерштрасса.

По теореме Кантора эта функция равномерно непрерывна на отрезке . Значит, для любого найдется такое , что для любых и , принадлежащих отрезку , из неравенства следует неравенство .

Возьмем такое разбиение отрезка на частичные отрезки , , чтобы . Тогда из неравенства выполняется неравенство

.

Отсюда следует, что .С учетом этого

.

Значит, и ◄

Следствие 1. Если функция ограничена на отрезке и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2. Функция , монотонная на отрезке , то интегрируема на этом отрезке.

► Ограниченность на отрезке следует из свойств непрерывных функций.

Пусть возрастает на отрезке , т.е. . Пусть . Возьмем такое разбиение отрезка на частичные отрезки , , чтобы

.

В силу монотонности имеем

и .

Тогда

.

Следовательно, . В силу критерия Дарбу ◄

3.4. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл обладает следующими свойствами.

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны , то интеграл равен нулю: .Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если , то .

►Действительно, так как , то . ◄

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

.

► Данное утверждение следует из того, что в случае все числа в разбиении будут отрицательными (при все ). ◄

Интеграл был определен для случая . Если , свойство 3 рассматривается как дополнение к определению определенного интеграла. Его можно интерпретировать следующим образом: определенные интегралы и являются пределами интегральных сумм, различающихся лишь знаком.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

.

► Действительно,

. ◄

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на функций , , …, равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

.

Доказательство этого свойства аналогично приведенному выше.

Замечание. Совокупность свойств 4 и 5 называются свойством линейности: если и интегрируемы на , то любая их линейная комбинация , , , также интегрируема на :

.

6 (аддитивность). Если существуют интегралы и , то существует также интеграл и для любых чисел , ,

.

►Действительно, предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора . Это позволяет при составлении интегральной суммы включить точку в число точек разбиения. Пусть , т.е.

.

Тогда .

Переходя к пределу при , получим

. ◄

7 (интегрирование неравенств). Если , то , .

►Действительно, так как и , то интегральная сумма . Переходя к пределу в последнем равенстве, имеем

. ◄

8 (монотонность). Если интегрируемые функции и удовлетворяют неравенству , то

, .

►Действительно, так как , то, согласно свойствам 5 и 7, имеем

.

Следовательно .◄

Замечание. Так как , то

.

Отсюда .