2.1 Определение производной

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если фиксированное значение аргумента получает приращение (положительное или отрицательное), такое, что , то приращение функции определяется выражением .

Производной функции в произвольной фиксированной точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

.

Обозначается: , , , .

Производная функции в произвольной точке обозначается так: , , , .

Если для некоторого значения предел или , то говорят, что функция в точке имеет бесконечную производную.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

2.2 Дифференцируемость функции и дифференциал

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде:

, где – некоторое действительное число и .

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точке существовала конечная производная . Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она непрерывна в этой точке. Обратное верно не всегда, т. е. из непрерывности функции в точке еще не следует ее дифференцируемость в этой точке.

Функция называется дифференцируемой на , если она дифференцируема в любой точке .

Дифференциалом функции называется величина , являющаяся главным (линейным) членом приращения функции в точке и обозначается :

.

В частности, если , то , и, следовательно, , т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой. Поэтому дифференциал функции в точке можно представить в виде

.

Тогда приращение функции можно записать в виде .

Видно, что дифференциал функции в точке отличается от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при .

2.3 Свойства производных, связанные с арифметическими операциями

– производная постоянной функции равна нулю:

;

– (правило дифференцирования алгебраической суммы функций) Производная алгебраической суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме (разности) производных слагаемых:

;

– (правило дифференцирования произведения функций) производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый:

;

– если дифференцируемая в точке функция, то

;

– (правило дифференцирования частного функций) производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель представляет собой разность между произведением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя:

;