2. Исследование нормальности распределения
По методике Цунга была исследована группа студентов факультета психологии. Измерялся уровень депрессивного состояния. (Результаты исследований для каждого варианта представлены в таблице ниже). Построить кривую распределения уровня депрессивного состояния у студентов-психологов. Отличается ли распределение признака от нормального?
Цель задания. Расчет асимметрии и эксцесса. Освоение метода проверки отклонения распределения от нормального с помощью параметров асимметрии и эксцесса, графически, а также с помощью критерия Колмогорова-Смирнова.
Таблица 4 – Результаты измерений депрессивного состояния
Группа студентов факультета психологии по методике Цунга
Результаты измерений |
18 |
47 |
48 |
30 |
35 |
10 |
86 |
63 |
67 |
23 |
22 |
31 |
81 |
39 |
57 |
32 |
17 |
45 |
Решение. Для решения задачи перенесем данные из таблицы 4 на лист рабочей книги MS Excel.
а) Используя следующие формулы для заданной выборки найдем асимметрию А
и эксцесс Е
В результате получаем следующие значения асимметрии и эксцесса:
Для проверки нормальности распределения по значениям асимметрии и эксцесса найдем для них критические значения по формулам:
Таким образом, т.к. найденные значения асимметрии и эксцесса не превышают по модулю своих критических значений, то распределение можно считать нормальным.
б) Проверим с помощью критерия Колмогорова-Смирнова гипотезу о том, что эмпирические данные, представленные в таблице 5, подчиняются нормальному распределению при уровне значимости =0,1.
Статистика Колмогорова для проверки гипотезы H0 против двусторонней альтернативы определяется как максимум модуля отклонения эмпирической функции распределения F’(x) от гипотетической F(x).
А.Н. Колмогоров доказал, что какова бы
ни была функция распределения F(x)
величины Х при неограниченном
увеличении количества наблюдений n
функция распределения случайной величины
асимптотически приближается к функции
распределения
.
Иначе говоря, этот критерий характеризует
вероятность того, что величина
не
будет превосходить параметр
для любой теоретической функции
распределения. Уровень значимости
выбирается из условия
.
Результаты расчетов представим в таблице
7.
Рисунок 7 – График накопленных частот
Таблица 5 – Расчеты эмпирический и теоретических накопительных частот
-
i
X
Эмпирически накопленная частота F'
Теоретическая накопленная частота F
F'-F
|F'-F|
1
10
0,075
0,056
0,019
0,019
2
17
0,131
0,111
0,019
0,019
3
18
0,140
0,167
-0,026
0,026
4
22
0,185
0,222
-0,037
0,037
5
23
0,197
0,278
-0,080
0,080
6
30
0,297
0,333
-0,036
0,036
7
31
0,313
0,389
-0,076
0,076
8
32
0,329
0,444
-0,115
0,115
9
35
0,380
0,500
-0,120
0,120
10
39
0,451
0,556
-0,105
0,105
11
45
0,559
0,611
-0,052
0,052
12
47
0,595
0,667
-0,072
0,072
13
48
0,612
0,722
-0,110
0,110
14
57
0,756
0,778
-0,021
0,021
15
63
0,833
0,833
0,000
0,000
16
67
0,875
0,889
-0,014
0,014
17
81
0,963
0,944
0,018
0,018
18
86
0,978
1,000
-0,022
0,022
Max |F'-F|= 1,20
Из таблицы распределения при
=0,1 найдем =1,22. Для
n = 18 критическое значение
.
Поскольку величина
=
меньше критического значения 0,288,
гипотеза о принадлежности выборки
нормальному закону не отвергается.
Построим график накопленных частот (рис. 8). Из графика видно, что эмпирические данные правой части распределения довольно близко расположены к линии нормального распределения.
Таким образом, проверка полученных эмпирических данных на нормальность с помощь расчета асимметрии, эксцесса и графически с использованием критерия Колмогорова-Смирнова дала положительный результат. В целом, с надежностью 98% можно утверждать, что эмпирическое распределение является нормальным.