4. Анализ классификации при сравнении эмпирического и теоретического распределений

Проведено исследование, в котором проводилось сравнение частот проявления агрессии в группе студентов-психологов и остальных студентов вуза в ходе проведения тренинга преодоления агрессивного поведения. Средняя частота проявления агрессии по вузу составила K %, а в данном случае из N студентов-психологов ярко выраженное агрессивное поведение проявили L студентов. Можно ли на этом основании сделать вывод о том, что среди студентов психологов проявление агрессии наблюдается реже, чем в целом по вузу? (Значения N, K, L см. в таблице 9).

Таблица 9 – Значения N, K, L согласно варианту контрольной работы

N	K	L
45	19	11

Цель задания. Освоение метода анализа классификации при сравнении эмпирического и теоретического распределений в случае двух градаций (применяется биноминальный критерий) и в случае более двух градаций (применяется критерий χ²).

Решение. Сформулируем гипотезы:

• H₀: Частота проявления агрессии в группе студентов-психологов не превышает средней частоты проявления агрессии в целом по вузу;

• H₁: Частота проявления агрессии в группе студентов-психологов превышает среднюю частота проявления агрессии в целом по вузу.

Будем считать, что вероятность проявления агрессии у студентов совпадает с частотой его проявления у всех студентов вуза . Используя данные таблицы 9, найдем эмпирическую частоту проявления агрессии у студентов-психологов по формуле . Таким образом, получаем

Так как: 1) f_эмп > f_теор, 2) , 3) объем выборки удовлетворяет условию: , то применим биномиальный критерий. Согласно биномиальному критерию подтверждается гипотеза H₁: f_эмп достоверно выше f_теор.

Таким образом, частота проявления агрессии в исследуемой группе студентов-психологов превышает среднюю частота проявления агрессии в целом по вузу.

5. Анализ таблиц сопряженности двух номинативных признаков

Цель задания: освоение метода анализа таблиц сопряженности.

Для каждого абитуриента репрезентативной выборки определены а) пол; б) одна из четырех возможных новых гуманитарных специальностей открытых только в данном вузе (таблица 10).

Таблица 10 – Таблица сопряженности двух номинативных признаков согласно варианту контрольной работы

		Y – специальность
		1	2	3	4	5	Всего
Х - пол	Муж. (1)	14	13	12	10	15	64
	Жен. (2)	10	7	14	5	15	51
Всего:		24	20	26	15	30	115

Проверить гипотезу о зависимости выбора специальности от пола.

Решение. Сформулируем гипотезы:

• H₀: Распределение абитуриентов по заданным гуманитарным специальностям открытым в вузе не зависит от их пола;

• H₁: Распределение абитуриентов по заданным гуманитарным специальностям открытым в вузе зависит от их пола.

Для проверки гипотезы H₀ будем использовать метод, получивший название c² (хи-квадрат) критерий.

где – фактическая частота в i-ой строке, j-ом столбце таблицы сопряженности;

– ожидаемая частота в i-ой строке, j-ом столбце таблицы сопряженности;

r = число строк в таблице сопряженности;

c = число столбцов в таблице сопряженности.

Найдем фактические частоты, которые находятся делением значения, записанного в соответствующей ячейке таблицы на общее число наблюдений (число в правом нижнем углу таблицы). Результаты запишем в таблицу 11.

Таблица 11 – Таблица фактических частот заданных номинативных признаков

		Y – специальность
		1	2	3	4	5	Всего
Х - пол	Муж. (1)	12	11	10	9	13	56
	Жен. (2)	9	6	12	4	13	44
Всего:		21	17	23	13	26	100

Теперь найдем ожидаемые частоты, которые находятся делением произведения двух соответствующих этой клетки сумм, записанных по краям таблицы, на сумму всех наблюдаемых частот. Результаты запишем в таблицу 12.

Таблица 12 – Таблица ожидаемых частот заданных номинативных признаков

		Y - специальность
		1	2	3	4	5	Всего
Х - пол	Муж. (1)	12	10	13	7	15	56
	Жен. (2)	9	8	10	6	12	44
Всего:		21	17	23	13	26	100

Вычисленную величину c² сравним со стандартными значениями. Если она превышает то или иное стандартное значение, исходная гипотеза о независимости признаков отвергается на соответствующем уровне значимости. Для этого найдем число степеней свободы. В случае, когда по каждому признаку подразделяют не менее трёх градаций, число степеней свободы находят по формуле: n = (r - 1) + (c -1), где r - число градаций в первой классификации, c - во второй классификации. Если же одна из классификаций содержит только две градации, то n = (c – 1), где с – число градаций в более дробной классификации.

Таблица 13 – Стандартные значения распределения c²

Число степеней свободы	Уровень значимости
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
2	9,2	7,4	6	0,103	0,051	0,02
3	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
5	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554

Так как число степеней свободы здесь равно n = 4 – 1 = 3 фактическая величина = 2,48 меньше представленных в таблице критических значений для уровней значимости 0,01; 0,025 и 0,05, следовательно гипотеза Н₀ о независимости распределения абитуриентов по заданным гуманитарным специальностям открытым в данном вузе от пола отвергается, а принимается гипотеза Н₁.

Таким образом, рассматриваемое в задание распределение абитуриентов по заданным гуманитарным специальностям, открытым в данном вузе статистически значимо зависит от пола абитуриентов.