Усилия в стержнях фермы

Элементы фермы	Обозначение стержня по рис.П3.2	Расчетное усилие, кН, при
		сжатии	растяжении
Верхний пояс	1-2 2-3 3-4 4-5	0 -562 -562 -632	— — — —
Нижний пояс	10-11 11-12	— —	+360 +641
Раскосы	10-2 2-11 11-4 4-12	-465 — -114 -16	— +258 — —
Стойки	1-10 3-11 5-12	-42 -84 —	— — +21

Подбор сечений. Сечения подбираем по формулам центрального сжатия или растяжения. Для верхнего по­яса N_max= – 632 кН. Требуемая площадь сечения угол­ков при 0,7 и _с =0,95 составит

Из сортамента находим равнополочные уголки 140х10, А=27,32=54,6 см². Фасонки принимаем толщи­ной t=12 мм в зависимости от усилия в опорном раско­се N=465 кН по табл. П3.3.

Таблица П3.3

Рекомендуемые толщины фасонок

N, кН	До 250	260-400	410-600	610-1000	1010-1400	1410-1800	Более 1800
t, мм	8	10	12	14	16	18	20

Тогда радиусы инерции сечения верхнего пояса рав­ны: i_x=4,33 см; i_y=6,19 см;

; ; .

 гибкость:

_х = l_x/i_x = 301/4,33 = 69 < _max = 120; _y = l_y/i_y = 602/6,19 = 97 < 120.

Здесь принято ly=602 см для случая, если нет ука­заний о приварке ребер железобетонных панелей в мес­тах опор на верхнем поясе и гибкость пояса зависит от схемы горизонтальных связей. Если проектом предусмот­рена приварка опор ребер панелей во всех узлах фермы, то панели покрытия будут работать как жесткие распор­ки и тогда расчетная длина пояса ly из плоскости фер­мы будет равна расстоянию между смежными узлами, т.е. ly=lх=301 см.

По табл. П1.21 прил. 1 находим _x = 0,775; _у = 0.59. Тогда:

_max = 632/0,5954,6=19,6 кН/см² (196 МПа)< R_у_с=2350,95=223 МПа.

В случае необходимости иметь некоторый запас проч­ности и повысить жесткость пояса из плоскости фермы можно принять неравнополочные уголки, например 180x110x10, для которых A=28,32=56,6 см², a i_y=8,69 см, i_x=3,12 см. Тогда:

_y = 602/8,69 = 69 и _у = 0,775; _х = 301/3,12 = 96; _x = 0,62;

_x = 632/0,6256,6 = 18,0 кН/см² (180 МПа) < R_у _с = 223 МПа.

В данном случае равнополочные уголки экономичнее, так как для них площадь сечения A = 54,6 < 56,6 см².

При учете расчетной длины сжатых элементов пояса (lх или lу) необходимо помнить, что в плоскости фермы расчетная длина lх равна расстоянию между смежными узлами фермы, а из плоскости фермы ly — расстоянию между узлами крепления горизонтальных связей, кото­рое может соответствовать длине одной, двух или не­скольких панелей фермы (т.е. ly=n_пlх, где n_п — число панелей, охватываемых горизонтальными связями в уровне верхнего пояса). Здесь ly = 2lх = 2301 = 602 см.

Расчет сечения нижнего пояса. Максимальное усилие растяжения в стержне 11-12 N_max = 641 кН. Требуемая площадь поверхности сечения составит при _с=0,95:

см².

По сортаменту находим: равнополочные уголки   100x8; A=15,62= =31,2 см²; i_x=3,07 см; i_y=4,5 см, или неравнополочные уголки   125x80x8; А=162=32 см². Расчетная длина: lx=6 м — расстояние меж­ду смежными узлами фермы; ly=6 м — расстояние меж­ду узлами связей по нижнему поясу.

Гибкость элемента при применении равнополочных уголков:

_х = l_x/i_x = 600/3,07 = 195 < _max = 400;

_y = l_y/i_y = 600/4,54 = 133 < 400,

где i_у=4,54 см при расстоянии между уголками 12 мм, равном тол­щине фасонки.

Стержень 10-11 нижнего пояса решаем из такого же профиля уголков, удовлетворяющих требованию гибко­сти ( < _max = 400).

Аналогично изложенному выполнен расчет других элементов фермы, указанных в табл.П3.2. При вычислении фактических напряжений (табл.П3.4) в сече­ниях сжатых элементов решетки расчетное сопротивление стали R_y принято с учетом коэффициента условий работы _с = 0,8...0,95.

При назначении сечений нужно стремиться, чтобы число разных профилей уголков не превышало 4 - 6 на всю ферму, поэтому часть сечений стержней приходится назначать конструктивно. Так, например, опорный рас­кос (10-2) обычно назначается из профилей верхнего пояса, нижний пояс можно по всей длине решить из уголков из допустимого минимального профиля уголков и т. д. В целях экономии металла нерабочие стержни (например, 1-2) можно решить либо продол­жением только одного уголка верхнего пояса соседних панелей, либо спроектировать из минимально допусти­мого профиля.

Следует иметь в виду, что рассчитывают и выбирают профиль стержня обычно в результате ряда попыток. После определения требуемой площади сечения из сор­тамента выбирают несколько удовлетворяющих расчету профилей из равнополочных и неравнополочных уголков, а затем путем сопоставления назначают наиболее эконо­мичный по расходу металла. Покажем это на примере расчета сжатого раскоса 11-4: N_max= -114 кН:

lx = 0,8l = 0,8421 = 337 см; lу = l = 421 см.

При   0,5

см².

Назначаем вначале равнополочные уголки   80x6; из сортамента выписываем А=9,382=18,76 см²; i_x=2,47 см; i_y=3,72 см. Вычисляем гибкость стержня

_х = l_x/i_x = 337/2,47 = 136 < _max = 150; _y = 421/3,72 = 113 < 150.

По табл.П1.21 прил. 1 находим _x = 0,345 и _y = 0,450. Проверяем напряжение

_max = 114/0,34518,76=17,6 кН/см² (176 МПа) < R_у _с=2350,8=188 МПа,

условие по устойчивости удовлетворяется.

Назначим сечение стержня из неравнополочных уголков, напри­мер 90x56x6, для которых по сортаменту найдем: A=8,542=17,08 см², радиусы инерции при развороте коротких полок наружу i_x = 2,88 и i_y = 2,45 см. Вычис­ляем гибкость: _x=337/2,88=117; _y=421/2,45= 171 > 150; не проходит по гибкости.

Принимаем неравнополочные уголки 100x63x6, A=9,592=19,18 см², i_x=3,2 см; i_y=2,7 см; гибкость _x=337/3,2=105,3<150; _y=421/2,7=155,9>150; не проходит.

Принимаем уголки 110x70x6,5, A=11,42=22,8 см², i_x=3,53 см, i_y=2,96 см; гибкость _x=337/3,53=95,5<150; _y=421/2,96=142,2<150; _y=0,31.

Проверяем напряжение

_max = 114/0,3122,8=16,1 кН/см² (161 МПа) < R_у _с=2350,8=188 МПа.

Из приведенных данных видно, что наиболее эконо­мичным сечением стержня является профиль из равнополочных уголков 80х6; A=18,76 см², в то время как при неравнополочных уголках 110x70x6,5 площадь се­чения A=22,8 см², а меньшие профили из неравнополочных уголков не проходят по гибкости.

Таблица П3.4

Таблица подбора сечений элементов фермы

Элемент	Обозна- чение стержня	Расчетное усилие, кН "-"сжатие, "+"растяж.	Принятое сечение	ПлощадьА, см2	Расчетная длина, см		Радиус инерции, см		Гибкость		min	c	Напряжение , МПа
					lx	ly	ix	iy	x	y			факти-ческое	расчет-ное
Верхний пояс	1-2	0	 140x10, конструктивно	54,6	301	602	4,33	6,19	69	97	-	-	-	-
	2-3	-562	То же	54,6	301	602	4,33	6,19	69	97	0,59	0,95	174	223
	3-4	-562	--	54,6	301	602	4,33	6,19	69	97	0,59	0,95	174	223
	4-5	-632	 140x10	54,6	301	602	4,33	6,19	69	97	0,59	0,95	196	223
Нижний пояс	10-11	+360	 100x8, конструктивно	31,2	600	600	3,07	4,54	196	133	-	0,95	115	223
	11-12	+641	 100x8	31,2	600	600	3,07	4,54	196	133	-	0,95	205	223
Раскосы	10-2	-465	 140x10, конструктивно	54,6	387	387	4,33	6,19	89	63	0,62	0,95	137	223
	2-11	+258	 63x5	12,26	310	387	1,94	3,04	160	127	-	0,95	210	223
	11-4	-114	 80x6	18,76	337	421	2,47	3,72	136	113	0,345	0,8	176	188
	4-12	-16	 80x6, конструктивно	18,76	337	421	2,47	3,72	136	113	0,345	0,8	24,7	188
Стойки	1-10	-42	 63x5, конструктивно	12,26	176	220	1,94	3,04	91	73	0,61	0,95	56,2	223
	3-11	-84	 63x5	12,26	216	270	1,94	3,04	111	89	0,47	0,8	146	188
	5-12	+21	 63x5, конструктивно	12,26	256	320	2,44	2,44	105	131	-	0,95	16,3	223

Расчет связей. Связи горизонтальные проектируем крестового вида из одиночных уголков, когда оба стерж­ня не прерываются (см. рис.П3.10, г). Предельная гибкость растянутых стержней равна 400. Сечение подбирают по заданной предельной гибкости. Сначала вычисляют тре­буемый радиус инерции:

i_d = l_ef /_пред = 424 / 400 = 1,06 см,

где l_ef = 0,5l₁ — расчетная длина растянутого стержня в плоскости расположения связей, как и для перекрестных стержней, равная приближенно для горизонтальных связей м; l₁ — — геометрическая длина стержня (см. рис.П3.12, д).

По сортаменту подбираем минимально допустимый уголок 50х5, для которого i_x=1,53 см (здесь радиус инерции принимается относительно оси, параллельной полке). При подборе неработающих стержней из плос­кости связей l_ef = 0,7l₁ = 0,7 = 5,95 м и i_d =595/400=1,49 см < i_x=1,53 см.

Подбирая вертикальные связи в сечении по коньку кровли (см. рис.П3.12, e), определяем:

— сечение распорок для сжатых элементов в плоскости связей

l_ef = 0,8l = 0,8300 = 240 см; i_x,d = 240/200 = 1,2 см;

— то же, из плоскости связей

l_ef = l₁ = 600 см, i_y,d = 600/200 = 3 см.

(требуется принять два уголка 70х5, для которых по сортаменту

i_y=3,16 см > i_y,d = 3 см и i_x=2,16 см > i_x,d = 1,2 см);

— раскосы как растянутые элементы в плоскости связей

м; i_d = 438/400 = 1,1 см;

— то же, как сжатых элементов из плоскости связей

i_d = 438/200 = 2,19 см.

Рис.П3.10. Компоновка сечений элементов легких ферм

а–д, з – из уголковых профилей; е, и – из швеллеров; ж – трубчатое сечение; к –  тавровый профиль; л – широкополочный двутавр; м – из гнутосварных замкнутых профилей квадратного или прямоугольного сечений

Принимаем два уголка 70x5, для которых i_x=2,16 см  i_d=2,19 см. Таким образом, вертикальные связи проектируем из двух спаренных уголков 70х5 мм, фасонки толщиной 8 мм.

Расчет узлов фермы. При расчете узлов фермы опре­деляют размеры сварных швов и назначают габариты фасонок с таким расчетом, чтобы на них размещались все сварные швы стержней.

Действующее в стержне усилие передается на обу­шок и перо уголка не одинаково, так как ось стержня смещена в сторону обушка. Следовательно, на шов у обушка передается большая часть силы, чем на шов у пера. Для равнополочных уголков распределение си­лы N принимается примерно так: на обушок 0,7N, на пе­ро 0,3N. Для неравнополочных уголков она изменяется в зависимости от длины полки: на обушок 0,75 или 0,65N и на перо 0,25 или 0,35N (первые отношения для корот­кой, вторые — для длинной полки, см. рис.П3.11, в). За­давшись толщиной сварного шва k_f, длину его на один уголок вычисляем по формуле (в сечении по металлу шва):

— на обушок

;

— у пера

,

где k — коэффициент распределения усилия на обушок и перо, при­нимаемый 0,75; 0,7 или 0,65 по схеме, приведенной на рис.П3.11, в;

При более точном расчете коэффициент k равен отно­шению е₂/b, тогда (1-k)=е₁/b, где е₁ — расстояние от обушка уголка до оси стержня; е₂ —то же, от оси стержня до пера; _f — коэффициент, учитывающий качество и спо­соб сварки, равный 0,7—1; для ручной сварки _f =0,7.

Рис.П3.11. Расчет узла фермы: а – компоновка элементов в узле; б – схема усилий; в – распределение длины швов у обушка и пера уголковых профилей;

1 – обушок; 2 – перо; 3 – ось верхнего пояса

При расчете по металлу границы сплавления формулы имеют следующий вид:

;

.

В конструкциях из стали с пределом текучести до 580 МПа, возводимых в климатических районах с расчет­ной температурой не ниже - 40 °С, коэффициенты _wf = _wz= l, а коэффициент _f < _z (по табл. 34

СНиП II-23-81), и при электродах марок Э42, Э42А или сва­рочной проволоки Св-08 R_wf =180 МПа, a R_wz= 0,45R_un=0,45370=166,5 МПа (где R_un=370 МПа — для ста­ли ВСт3пс6 по ГОСТ 380-71); тогда при ручной сварке R_wf_f=1800,7=126 МПа и R_wz_z=166,51=166,5 МПа. Следовательно, менее благоприятным расчетным случаем является расчет по металлу шва.

Катет шва k_f принимают, как правило, не более тол­щины полки привариваемого уголка. Конструктивная длина шва увеличивается против расчетной на 10—15 мм, общая длина его должна быть кратной 10 мм.

В узлах прямолинейных участков пояса фермы (верхнего и нижнего) при расчете прикрепления фасонки при­нимают равнодействующую усилий, которые действуют в смежных панелях (рис.П3.11, а, б), равную

N_f = N₂ – N₁.

В узлах, где к фасонке крепятся пояса, вначале рас­считывают длины швов для крепления раскосов и стоек, затем конструируют узел и назначают длину фасонки так, чтобы на ней размещались швы элементов решетки. Расчетную длину швов для крепления пояса принимают на 10—20 мм меньше длины фасонки и тогда толщину (катет) швов у поясов определяют по формулам (при расчете по металлу шва):

,

Требуемую площадь швов (при нагрузке на узел F_c перпендикулярно к поясу) можно также определить по формуле

Поясные швы рекомендуется выполнять непрерывными (сплошными). Результаты расчета сварных швов све­дены в табл.П3.5. Длины швов даны на один уголок.

Поясним расчет узлов фермы на примерах. Рас­смотрим опорный узел А, где сходятся стержни II-1, I-2, 1-2 (рис.П3.12, а, б). Рассчитаем прикрепление опор­ного раскоса 1-2, расчетное усилие N_1-2 = 475 кН, сече­ние из двух уголков 140х10 сварка ручная:

_f=0,7; _z=1; _wf = _wz = l.

Принимаем толщину шва у обушка k_f,b=10 мм, а у пера k_f,p=8 мм; вычисляем длины швов:

конструктивно, с учетом добавления 1—2 см на непровар шва по концам, принимаем l_w,b = 13,2+1,8 = 15 см;

конструктивно принимаем l_w,p = 7,1+1,9 = 9 см, где k=0,7— коэффициент распределения силы на обушок и (1-k) — на перо для равнобоких уголков; 2 (в знаме­нателе) — число уголков в стержне.

Таблица П3.5

Расчет угловых швов в узлах фермы (R_wf =180 МПа, _wf = _wz= l; _c=l)

Узел фермы	Стер-жень			Расчетное усилие, кН (по расчету графическим способом)	Толщина шва, мм		Расчетная длина шва, см		Конструктивная длина шва, см		Примечание
					у обушка kfb	у пера kfp	у обушка	у пера	у обушка, lwb	у пера, lwp
А	II-1			42	4	4	3	1,3	6*	6*	—
	1-2			475	10	8	13,2	7,1	15	9	—
	I-2			375	8	6	13	7,4	14	9	—
B	III-1 IV-3			590—0=590 Fс = 84	10	9	52	52	53	53	По формуле (6.7)
	1-2			475	10	8	13,2	7,1	15	9	По расчету узла A
	2-3			260	5	4	14.4	7,7	16	9	—
C	I-2 I-5			630—375=255	4	4	17,7	7,6	50*	50*	—
	2-3			260	5	4	14,4	7,7	16	9	По расчету узла B
	3-4			84	4	4	5,8	2,5	7	5*	—
	4-5			120	6	4	5,6	3,6	7*	5*	—
D	3-4			84	5	4	4,6	2,5	7	6*	По расчету узла С
	IV-3 V-4			590—590=0; Fc=84	8	8	—	—	11*	11*	По формуле (6.7), конструктивно
Е	V-4 VI-6			670—590=80; Fc=84	4	4	26	26	60*	60*	По формуле (6.7)
	4-5			120	6	4	5,6	3,6	7	5	По расчету узла C
	5-6			15	4	4	1,04	0,5	6*	6*	По расчету узла F
F	1-5			630	8	6	21,8	12,5	27*	27*	—
	5-6			15	4	4	1,04	0,5	6*	6*	—
	6-6'			20	4	4	1,4	0,6	6*	6*	—
K	VI-6			670	8	6	23,3	13,3	29*	29*	—
	6-6'			15	4	4	1,04	0,5	6*	6*	По расчету узла F

* Приняты по конструктивным соображениям.

Рис.П3.12 - Расчетные схемы узлов стропильной фермы: а – маркировка узлов на геометрической схеме фермы; б-г –схемы усилий в узлах; д, е – схемы для определения расчетных длин элементов соответ­ственно горизонтальных и вертикальных связей

Для крепления нижнего пояса I-2 (2 100x8) к фасонке при k_f,b =8 мм и k_f,p = 6 мм конструктивные длины сварных швов будут:

;

.

Рассмотрим узел В (рис.П3.12, б), узловая нагрузка F_с=84 кН. Для крепления к фасонке раскоса 2-3, со­стоящего из 263x5 при N=260 кН, принимаем k_f,b=5 мм и k_f,p=4 мм и рассчитываем длину сварных швов:

;

.

Раскос 1-2 приваривают швами l_w,b=15 см и l_w,p=9 см, вычисленными по опорному узлу A. При конст­руировании узла В длина фасонки определена 630 мм (см. рис.П.13). Крепление к фасонке стержней пояса III-1 и IV-3 рассчитываем при N_f=N_IV-3-N_III-1=590-0=590 кН; расчетная длина швов: l_w,b=l_w,р=52+1=53 см; требуемую толщину сварных швов с учетом узловой нагрузки F_c=84 кН под­считываем по формуле (6.7)

Принято у обушка k_f,b=10 мм и у пера k_f,p=9 мм.

По аналогии для расчета длины сварных швов для крепления к фасонке стержней I-2 и I-5 (2100x8 мм) в узле С (рис.П3.12, г) нижнего пояса (на один уголок) при минимальном значении k_f =4 мм последо­вательно определяем:

 расчетное усилие

N = N_I-5 – N_I-2 = 650 – 375 = 275 кН;

 длину швов

Принято конструктивно по длине фасонки l_w,b = l_w,p = 50 см.