Предельные характеристики функционирования многоканальной смо с отказами

Характеристики в момент времени t	Формулы
Коэффициент использования
Вероятность того, что каналы свободны
Вероятность занятости n каналов
Вероятность отказа заявке
Вероятность отказа заявке
Относительная пропускная способность СМО
Абсолютная пропускная способность СМО
Среднее время обслуживания заявок
Среднее число занятых каналов

Рассчитываем интенсивность потока обслуживания

.

Коэффициент использования – количество заявок, поступающих за время выполнения одной заявки. Далее:

,

,

.

Отсюда: ,

,

,

.

3. Одноканальная система с неограниченной очередью

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей, рассматривают также следующие: L_сист – среднее число заявок в системе, Т_сист – среднее время пребывания заявки в системе, L_оч – среднее число заявок в очереди (длина очереди), T_оч – среднее время пребывания заявки в очереди.

Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность , а поток обслуживания – интенсивность .

Предельные характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с ожиданием приведены в табл. 10.

Таблица 10

Предельные характеристики функционирования одноканальной смо с ожиданием

Характеристики в момент времени t	Формулы
Коэффициент использования
Вероятность того, что канал свободен
Вероятность пребывания k заявок в системе
Вероятность более чем k заявок в системе
Среднее число заявок в системе
Среднее число заявок в очереди
Среднее время пребывания заявки в системе
Среднее время пребывания заявки в очереди

Для СМО с неограниченной очередью при любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т. е. вероятность отказа , относительная пропускная способность , а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т. е. .

Пример 8. Механик автосервиса обслуживает в среднем три автомобиля в течение 1 часа. Клиенты приезжают в среднем по два в час и их число неограниченно. Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса и равны 10 д. е. за час ожидания в очереди. Определить основные характеристики данной СМО и общие затраты автосервиса в день, при условии, что механик получает 7 д. е. в час.

Для данной системы машины/час,  машины/час. Определяем , значит, очередь не возрастает до бесконечности.

машины в среднем в системе,

час – среднее время пребывания в системе,

машины в среднем ожидает в очереди,

мин – среднее время ожидания в очереди,

– вероятность того, что в системе нет ни одного клиента.

Так как в среднем каждая машина ожидает в очереди часа и в день обслуживается в среднем 16 машин (2 машины в час в течение восьмичасового рабочего дня), общее число часов, которое проводят в очереди все клиенты, равно часа. Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют д. е. в день.

Общие затраты автосервиса равны д. е. в день.

4. Многоканальная система с неограниченной очередью

Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет ин­тенсивность , а поток обслуживании – интенсивность .

При предельные вероятности существуют. Если , очередь растет до бесконечности.

Предельные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с ожиданием приведены в табл. 11.

Пример 9. Железнодорожная касса с двумя окошками продает билеты в два пункта А и В. Интенсивность потока пассажиров, желающих купить билеты, для обоих пунктов одинакова: (пассажиров в минуту). На обслуживание пассажиров кассир тратит в среднем 2 мин. Рассматриваются два варианта продажи билетов: первый – билеты продаются в одной кассе с двумя окошками одновременно в оба пункта А и В, второй – билеты продаются в двух специализированных кассах (по одному окошку в каждой), одна только в пункт А, другая – только в пункт В. Необходимо сравнить два варианта продажи билетов по основным характеристикам обслуживания.

Таблица 11