Задания для самостоятельной работы.
1.
Убедиться, что
,
если
а)
;
б)
;
в)
.
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
убедиться, что
и что
.
8.
Показать, что
,
если
а)
; б)
9.
.
Показать, что
.
10.
.
Показать, что
,
каковы бы ни были дважды дифференцируемые
функции
.
11.
.
Проверить, что
(
и
– дважды дифференцируемые функции).
12.
.
Показать, что
(
–
дифференцируемая функция).
13.
.
Показать, что
(
и
– дважды дифференцируемые функции).
14.
.
Показать, что
.
15.
.
Показать, что
.
3. Дифференциал функции
Определение. Функция дифференцируема в точке , если её полное приращение в окрестности этой точки представимо в виде
,
где
и
- константы, не зависящие от
,
.
Здесь
.
Если функция
дифференцируема в точке
,
то в этой точке у нее существуют частные
производные, причем
.
Обратное, вообще говоря, неверно. В
отличие от функций одной переменной,
для функций многих переменных из
существования в заданной точке первых
частных производных не следует
дифференцируемость функции по совокупности
переменных.
Теорема
(достаточное
условие дифференцируемости функции
двух переменных).
Если у функции
частные производные
,
существуют в окрестности точки
и непрерывны в самой точке
,
то функция
дифференцируема в этой точке.
В случае дифференцируемости
функции главная линейная часть её
полного приращения
называется первым дифференциалом:
,
.
(1)
Пример 1.
Найти
для функции
.
Решение. Находим частные производные
,
.
В соответствии с формулой (1) запишем первый дифференциал:
.☻
Аналогично определяется
первый дифференциал функции
трех переменных:
.
Пример 2.
Найти
для функции
.
Решение. Вычислим
,
,
.
Первый дифференциал примет вид:
.
☻
Заменяя полное
приращение функции
ее дифференциалом
,
получим приближенную формулу с точностью
до
:
. (2)
Пример 3. Вычислить
приближенно
.
Решение.
Рассмотрим функцию
.
В качестве начальной точки возьмём
.
Тогда
.
Вычислим
и подсчитаем производные в точке
:
.
Запишем первый дифференциал в точке :
.
Теперь в соответствии с приближенной формулой (2) получаем
.
☻
Дифференциалы более
высокого порядка от функции
определяются по индукции:
.
Для вычисления старших дифференциалов удобно пользоваться символической формулой
(3)
При
эта формула принимает знакомый вид (1):
.
Если
,
то при использовании символической
формулы (3) применяют бином Ньютона.
Например, при
получаем (с учетом равенства непрерывных
смешанных производных)
.
Если
,
то
.
Аналогично определяются формулы для дифференциалов более высокого порядка от функции 3-х переменных :
Пример 4.
Найти второй дифференциал для функции
.
Решение. Записываем формулу для второго дифференциала
.
Остается подсчитать
все производные второго порядка. Сначала
находим первые производные:
.
Подсчитаем вторые производные:
.
Следовательно,
.
☻